LDA主题模型详解

1.什么是LDA主题模型

      LDA(Latent Dirichlet Allocation)是一种文档生成模型。它认为一篇文章是有多个主题的，而每个主题又对应着不同的词。一篇文章的构造过程，首先是以一定的概率选择某个主题，然后再在这个主题下以一定的概率选出某一个词，这样就生成了这篇文章的第一个词。不断重复这个过程，就生成了整片文章。当然这里假定词与词之间是没顺序的。

       LDA的使用是上述文档生成的逆过程，它将根据一篇得到的文章，去寻找出这篇文章的主题，以及这些主题对应的词。

       现在来看怎么用LDA，LDA会给我们返回什么结果。

2.主题分布与词分布

  上面说了，一篇文章的生成过程，每次生成一个词的时候，首先会以一定的概率选择一个主题。不同主题的概率是不一样的，在这里，假设这些文章-主题符合多项式分布。同理，主题-词也假定为多项式分布。所谓分布（概率），就是不同情况发生的可能性，它们符合一定的规律。

   

两点分布

已知随机变量X的分布率为

X	1	0
p	p	1-p

则有
E(x)=1∗p+0∗q=p
D(x)=E(x2)−[E(x)]2=pq

抛一次硬币的时候，不是正面就是反面，符合两点分布。这里概率P为参数

二项分布

二项分布，即是重复n次两点分布。设随机变量X服从参数为n,p的二项分布。其中，n为重复的次数，p为两点分布中，事件A发生的概率。设X=k为n次实验中事件A发生了k次的概率。
可以得到X的分布率为：

例如，丢5次硬币，事件A为硬币正面朝上，则PX=k表示求抛5次硬币，有k次硬币正面朝上的概率。通过计算可以得知二项分布的期望和方差如下，这里就不计算了：

多项式分布

多项式分布（multinomial）是二项分布在两点分布上的延伸。在两点分布中，一次实验只有两种可能性，p以及 （1-p）。例如抛一枚硬币，不是正面就是反面。在多项式分布中，这种可能的情况得到了扩展。例如抛一个骰子，一共有6种可能，而不是2种。

设某随机实验如果有k个可能情况 A1、A2、…、Ak，分别将他们的出现次数记为随机变量X1、X2、…、Xk，它们的概率分布分别是p1，p2，…，pk，那么在n次采样的总结果中，A1出现n1次、A2出现n2次、…、Ak出现nk次的这种事件的出现概率P有下面公式：

这里，p1,p2…pk都是参数

那么现在我们回到LDA身上，前面已经说了主题和词是符合多项分布的，我们可以用骰子形象地表达一篇文章的生成的过程。

有两类骰子，一种是文章-主题（doc-topic）骰子，骰子的每面代表一种主题。这里设一共有K个主题，则K面。骰子的各个面的概率记为

ϑ⃗ =(p1,p2,p3,...,pk)

ϑ⃗ =(p。各个面的概率即为这个多项式分布的参数。

另一种骰子为主题-词(topic-word)骰子，一共有K个，从1~K编号，分别对应着不同的主题。骰子的一个面代表一个单词。由于有K个骰子，把不同主题-词骰子各个面的概率分别记为φ⃗ 1,φ⃗ 2,..

φ⃗ 1,φ⃗ 2,...φ⃗ k

一个主题-词骰子，他的各个面的概率即为这个多项式分布的参数。

那么一篇文章的生成过程可以表示为：

1. 抛掷这个doc-topic骰子，得到主题编号z
2. 选择编号为z的topic-word骰子，得到词w
3. 不断重复步骤1以及步骤2

3.参数估计

上面我们已经知道了主题分布和词分布都属于多项式分布，只是它们的参数究竟是什么值，我们还无从知晓。如果我们能估算出它们的参数，我们就能求得这些主题分布和词分布。LDA的主要目的就是求出主题分布和词分布，距离这个目的，我们近在咫尺。

极大似然估计

我们知道，频率可以用来估计参数。例如对于两点分布，抛硬币。当我们抛的次数足够多，可以估出p接近1/2，大数定理是有力的保证。频率学派为参数估计提供了另一种有力的工具——极大似然估计。它的思想可以这样形象地表达：既然样本已经出来了，我们有理由相信它们发生的概率很大，于是我们不如就设给定参数的情况下，出现这些样本的概率是最大的，通过求导计算极值，从而计算出参数。

        在这里，我们的样本就是我们观察到的，文章d，以及文章里的词w。要求参数，我们可以写出如下式子：

p(wj|dm)=∑k=1Kp(wj|zk)p(zk|dm)
给定第m篇文章情况下，第i个词出现的概率正式上式。这里z主题是隐变量，我们观测不到，但把它暴露了出来。p(wj|zk)是词分布。p(zk|dm)是主题分布，也是我们要求的参数：φkj表示第k个主题词wj出现的概率；ϑmk表示第m篇文章主题k出现的概率。这样我们就可以求他们了。

我们设词和词，文章和文章之间是独立的。进一步，有了一个单词的概率，我们就可以求一篇文章的概率：
p(w⃗ |dm)=∏j=1n∑k=1Kp(wj|zk)p(zk|dm)

进一步，有了整个语料库（训练集，多篇文章）的概率：
L=∏m=1M∏j=1n∑k=1Kp(wj|zk)p(zk|dm)

上面说过，极大似然估计就是要让这个式子达到最大值。接下来还需要把式两边取对手，求导，解似然方程，就可以得到参数。实际上，到这里为止，讲述的是其实还只是plsa模型，因此这里不写出求解过程。LDA在plsa的求参上作了一些变化，下面将会讲到。

形式化地，似然函数可以如下表示：
P(x1,x2,...xn|ϑ)
哪个参数能够使得这个P最大，则把这个参数作为我们选定的参数。

贝叶斯估计

上一小节中我们知道，plsa模型用频率学派来估计主题分布和词分布的参数，频率学派认为参数是一个定值。而贝叶斯学派则认为参数是变化的，也应该符合一定的分布。LDA在plsa的基础上引入了贝叶斯学派的方式。
我们先来看看贝叶斯公式

 P(ϑ|x)=P(x,ϑ)P(x)=P(x|ϑ)P(ϑ)P(x)

我们看看每个部分的含义：
P(θ)：θ发生的概率，先验概率。
P(θ|x)：在数据x的支持下，θ发生的概率，后验概率。
P(x|θ)：似然函数，前面已经提及。

百度百科对先验后验有如下解释：
先验概率不是根据有关自然状态的全部资料测定的，而只是利用现有的材料(主要是历史资料)计算的；后验概率使用了有关自然状态更加全面的资料，既有先验概率资料，也有补充资料；

贝叶斯学派的思路很直观，就是如果只做了少量试验来估计参数（如均值或概率p），会由于小样本数据而造成估计不准。但利用之前已经拥有的经验（以前做过的试验数据），就可以让估计更为合理。

那么在给定样本X的情况下，要如何去修正参数P(ϑ|x)呢？类似极大似然函数那样，我们可以选择另P(θ|x)最大的θ,由于样本X是给定的，因此P(X)是不变的，由此有：
P(ϑ|x)∝P(x|ϑ)P(ϑ)

共轭先验分布

回到我们的LDA上，通过贝叶斯学派的观点对plsa模型进行改造。参数也是服从一定的分布的。

原本绿色骰子（doc-topic分布）是P(θ)先验概率，现在成了P(θ|x)后验概率。词分布也是同样的。我们已经知道，主题分布以及词分布式服从多项式分布的。那么他们的参数要服从什么分布呢？我们知道，P(ϑ|x)∝P(x|ϑ)P(ϑ)，而P(θ|x)服从多项式分布，因此P(θ)P(x|θ)归一化后也要服从多项式分布。

在贝叶斯概率理论中，有这么一种定义，如果后验概率P(θ|x)和先验概率p(θ)满足同样的分布律，那么先验分布和后验分布被叫做共轭分布，同时，先验分布叫做似然函数的共轭先验分布。

那么，我们就可以选择似然函数P(x|θ)的共轭先验作为P(θ)的分布。而Dirichlet分布正是多项式分布的共轭先验概率分布。

Dirichlet分布的更多说明和数学推导可以参考篇尾参考资料里的LDA数学八卦以及LDA漫游指南。这里叙述共轭先验分布一些后面要用到的特性。

Dir(p⃗ |α⃗ )+MultCount(m⃗ )=Dir(p⃗ |α⃗ +m⃗ )

对应贝叶斯参数估计的过程：先验分布+数据的知识=后验分布

MultCount是什么我们还没说到，但是根据式子可以知道它们对应我们观测到的样本数据。我们似乎还没讲到这些样本数据要如何组织，如何使用。举一个例子：

假设语料库中所有词的总数是N，如果我们关注每个词vi的发生次数ni,那么n⃗ =(n1,n2...nv)正好是一个多项分布

这就是MultCount。

对应到LDA中，文章-主题分布的MultCount是每个主题的词的总数。主题-词对应的是词分布里每个单词的计数。

最后，我们通过共轭先验分布来求参数的后验分布：

有了分布，就可以使用（a）式用平均值来估计参数的值，可以通过计算分布的极值或者期望来作为我们选择的参数。

如果p⃗ ∼Dir(t⃗ |α⃗ ),有期望

于是有：

ni是词频的计数，对应到主题分布和词分布就是每个主题的词的总数/词分布里每个单词的计数。α成为先验分布的伪计数。可以看到它的物理意义很直观，就是先验的伪计数+数据样本的计数占整体计数的比重。

有了参数的形式，对它的求解，可以使用变分EM以及吉布斯(Gibbs Sampling)的方式。在下一篇文章中，将给出吉布斯采样的原理以及代码解析。

形式化LDA

上面对LDA进行了形象的描述以及相关的数学讨论，现在我们来更准确地，形式化地描述一下LDA。下图为LDA的概率图模型。

符号	解释
M	文章的数量
K	主题的个数
V	词袋的长度
Nm	第m篇文章中单词的总数
α⃗	是每篇文章的主题分布的先验分布Dirichlet分布的参数（也被称为超参数）通常是手动设定的
β⃗	是每个主题的词分布的先验分布Dirichlet分布的参数（也被称为超参数）通常是手动设定的
ϑ⃗ m	θ是一个M*K的矩阵,ϑ⃗ m表示第m篇文章的主题分布，ϑ⃗ m∼Dir(α⃗ )是我们要求的参数
φ⃗ k	φ是一个K*V的矩阵,φ⃗ k表示第k个主题的词分布，φ⃗ k∼Dir(β⃗ )是我们要求的参数
zm,n	第m篇文章第n个词被赋予的主题，隐变量
wm,n	第m篇文章第n个词，这个是可以被我们观测到的

LDA模型文章的生成过程如下：

1. 选择一个ϑ⃗ m∼Dir(α⃗ )

2. 对每个准备生成的单词Wm,n
   (a)选择一个主题Zm,n~Multinomial(ϑ⃗ m)
   (b)生成一个单词Wm,n从P(Wm,n|Zm,n,β⃗ )

根据上节的讨论，可以推导出主题分布：

E(x)=n

词分布有类似的形式。

最后，可以写出资料库的联合概率。
这里参数转化为每个topic的单词计数以及词分布的单词计数。概率将有这些计数除它们对应的总数所得。