离散型随机变量，二项分布，泊松分布，几何分布（概统2.知识）

离散型随机变量，二项分布，泊松分布，指数分布，几何分布（概统2.知识）

1.0-1分布 。例如抛硬币，正面朝上设为1，反面朝上设为0
分布律为

结果随机变量X	1	0
概率 P	p	1-p

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2.二项分布
例如n次射击，每次只有射中与射不中两种结果，求n次射击恰好射中k次的概率。
设射中次数为随机数X，

二项分布就是独立事件n重伯努利试验，每次试验只有A发生与不发生两种结果，求n次试验中恰好发生k次的概率。

伯努利概型在前面博文已经写过，请参看前面博文：独立性，重复独立事件，伯努利概型（概统1）

P{X=k} = Cknpkqn−k,$C_n^k{p}^k{q}^{n-k},$k=0,1,2,..n
q=1-p;
记为 X~B(n,p)

二项分布的最大k值问题，请看博文：计算二项分布最大值，二项分布推导泊松分布，几何分布（概统2.证明）

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3.泊松分布
由前面二项分布，当n趋于无穷大，p又趋于0时，可以由二项分布推导出泊松分布。

3.1)泊松分布第一种：单位时间内发生的次数是常数，事件按固定的时间频率发生
为什么具有单位时间内平均发生次数特点的事件可以看做泊松分布？ 、
理解方式：可以将”单位时间“无限分割，这样n等分就无限多，每个等分就无限小，无限小的时间事件发生的概率趋向于0，于是这就是一个{n→∞,p→0$n\to \mathrm{\infty },p\to 0$}
的问题，同时，n*p=单位时间平均发生次数=λ$\lambda$

例如， 某医院平均每小时出生3个婴儿，接下来1小时，至少出生2个婴儿的概率是多少？

设随机变量为X
P {X=k} =(λt)kk!e−λt$\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda t}$, k=0,1,2,…
其中λ$\lambda$表示单位时间内，发生结果的平均概率。

t是单位时间的倍数，如果t取1，公式就变成：
P {X=k} =(λ)kk!e−λ$\frac{(\lambda {)}^k}{k!}{e}^{-\lambda }$, k=0,1,2,…

称X为服从参数为λ$\lambda$的泊松分布，记为 X~π(λ)$\pi (\lambda )$ ，或者 X~P(λ)$P(\lambda )$

[例题3.1] - 某医院平均每小时出生3个婴儿，
1)) 接下来2小时，一个婴儿都不出生的概率是多少？
2)) 接下来1小时，至少出生2个婴儿的概率是多少？
3)) 接下来的15到30分钟，会有婴儿出生的概率是多少？
解：
1)) 满足事件按固定时间频率发生的条件。
P {X=k} =(λt)kk!e−λt$\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}{e}^{-\lambda t}$, k=0,1,2,…
接下来2小时：t=2
λ$\lambda$=发生频率=3,
一个婴儿都不出生：k=0,
P {X=0,t=2} =(3∗2)00!e−3∗2$\frac{(3\ast 2{)}^0}{0!}{e}^{-3\ast 2}$ = e−6≈$e^{-6}\approx$ 0.0025 = 0.25% ;
所以说，接下来2小时，一个婴儿都不出生的概率不到1%；

2)) 接下来1小时：t=1
λ$\lambda$=发生频率=3,
P{X>=2,t=1}=1-P{X=0,t=1}-P{X=1,t=1};

P{X=0,t=1} =(3∗1)00!e−3∗1$\frac{(3\ast 1{)}^0}{0!}{e}^{-3\ast 1}$ = e−3$e^{-3}$;
P{X=1,t=1} =(3∗1)11!e−3∗1$\frac{(3\ast 1{)}^1}{1!}{e}^{-3\ast 1}$ = 3e−3$3e^{-3}$;
P{X>=2,t=1}=1-P{X=0,t=1}-P{X=1,t=1} = 1−e−3−3e3=1−4∗e−3$1-e^{-3}-3e^3=1-4\ast e^{-3}$
≈0.8009≈80$\approx 0.8009\approx 80$
所以说接下来1小时，很大概率至少出生2个婴儿 。因为平均每小时出生3个婴儿，因此，接下来1小时里，最有可能发生的概率就是平均概率（就等于λ$\lambda$），也印证了后面一个问题：在泊松分布中，k取λ$\lambda$时，P{X=k}有最大值。

3)) 接下来的15到30分钟，会有婴儿出生的概率是多少？
有婴儿出生的概率=有1个到无限个的概率 ，用它的反面来计算，
有1个到无限个的概率 = 1 - 有0个出生的概率
P{X>=1} = 1 - P{X=0}
因为t的单位是小时，15分钟换算成小时=0.25小时，30分钟换算成小时=0.5小时
P{X=0,t=0.25} = (3∗0.25)00!e−3∗0.25$\frac{(3\ast 0.25{)}^0}{0!}{e}^{-3\ast 0.25}$ = e−3∗0.25$e^{-3\ast 0.25}$ ;
P{X=0,t=0.50} = (3∗0.50)00!e−3∗0.50$\frac{(3\ast 0.50{)}^0}{0!}{e}^{-3\ast 0.50}$ = e−3∗0.50$e^{-3\ast 0.50}$ ;
P{X>=1,t=0.25} = 1 - P{X=0,t=0.25} = 1 - e−0.75$e^{-0.75}$ ;
P{X>=1,t=0.50} = 1 - P{X=0,t=0.50} = 1 - e−1.5$e^{-1.5}$ ;
接下来的15到30分钟的时间段的概率=Px
=P(X>=1,t=0.5) - P(X>=1,t=0.25) = e−0.75−e−1.5$e^{-0.75}-e^{-1.5}$ = 0.2492%

3.2)泊松分布第二种：大数据样本，样本总数N很大，每个个体发生的概率p很小，N*p是一个常数，等于一段时间内平均总体发生次数

N*p = λ$\lambda$，N是个体数目，样本总数，p是每个个体发生的概率，每个个体发生的概率很小，比如机器故障，汽车路过路口时发生故障，λ$\lambda$就是一定时间内发生的总平均概率。

例如， 交通路口，高峰时段有1000辆车路过路口，每辆车出故障的概率为0.001 。

这些类型的实例是n很大，p很小，n*p等于一个常数，因此可以用泊松分布。

P {X=k} =(λ)kk!e−λ$\frac{(\lambda {)}^k}{k!}{e}^{-\lambda }$, k=0,1,2,…
称X为服从参数为λ$\lambda$的泊松分布，记为 X~π(λ)$\pi (\lambda )$ ，或者 X~P(λ)$P(\lambda )$

[例题3.2] 某交通路口，高峰时段有1000辆车路过路口，每辆车出故障的概率为0.0001，
1)) 求发生事故的概率分布。
2)) 求某段时间内同时发生两次以上事故的概率是多少？

解：
1)) 此题 n =1000, p=0.0001, n*p=0.1
符合n很大，p趋于0，n*p=λ$\lambda$ ,所以X服从泊松分布
发生事故的概率分布律为
P{X=k} = λkk!∗e−λ$\frac{{\lambda }^k}{k!}\ast e^{-\lambda }$ = 0.1kk!∗e−0.1$\frac{{0.1}^k}{k!}\ast e^{-0.1}$

2)) 某一段时间内发生两次以上的事故的概率，为两次到无限次的概率之和，
用减去0次和1次计算。
P{X>=2}=1-P{X=0}-P{X=1}
= 1 - 0.100!∗e−0.1$\frac{{0.1}^0}{0!}\ast e^{-0.1}$ -0.111!∗e−0.1$\frac{{0.1}^1}{1!}\ast e^{-0.1}$
= 1 - 1.1∗e0.1$1.1\ast e^0.1$ = 0.0045

3.3）总结泊松分布适用情形，泊松分布的特征
泊松分布可看作是单位时间、单位面积或单位容积中颗粒数或某罕见事件发生数的概率分布

泊松分布的特征，见【概率论与数理统计.2.随机变量。应用】– 泊松分布的特征与应用

泊松分布的图形示意

由图形看出，泊松分布的特征：
1))泊松分布的图形只取决于平均数λ$\lambda$
2))当λ$\lambda$很小时，图形是很偏的，但当λ$\lambda$增大时，图形逐渐趋向正态，当λ$\lambda$=20时，泊松分布接近正态，当λ$\lambda$>50时，可以认为是正态分布。
3))由泊松分布的图形示例，可以看得出来，k值在λ$\lambda$附近时，概率最大，
即k=λ$k=\lambda$，P{X=k}等于峰值**

3.4 )泊松分布公式与 自然数 的定义 e
参考前面博文【基础数学】–对自然数e的理解，e的证明，e的计算

ex$e^x$ = ∑∞i=0(x)ii!$\sum _{i=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(x{)}^i}{i!}$
ex$e^x$ = 1+x+(x)22!+(x)33!+...+(x)n1n!$\frac{(x{)}^2}{2!}+\frac{(x{)}^3}{3!}+...+(x{)}^n\frac{1}{n!}$
===
近似计算（e<4）的情况，e的指数越大，后面的项越大，越需要多项展开）：
ex$e^x$ = 1+x+(x)22+(x)36+(x)424+(x)5120$\frac{(x{)}^2}{2}+\frac{(x{)}^3}{6}+\frac{(x{)}^4}{24}+\frac{(x{)}^5}{120}$

=====
思考问题：
ex$e^x$的泰勒级数展开多项式中，哪一项的值最大？
答案是：x等于多少就是哪项值最大，恰好第x项的值最大。
可以参考前面博文对自然数e的理解，e的证明，e的计算（基础）
物理意义：单位时间内事件发生的次数最大可能性就是平均概率。
===
比如x=1，第一项最大 x=1。
x=2: 第一项及第二项 都是最大(x)22=222=2$\frac{(x{)}^2}{2}=\frac{2^2}{2}=2$；
x=3，第三项 最大(x)36=336$\frac{(x{)}^3}{6}=\frac{3^3}{6}$=4.73；
x=4，第四项 最大(x)424=4424=25624$\frac{(x{)}^4}{24}=\frac{4^4}{24}=\frac{256}{24}$=12；
以此类推….

可以看到 λkk!$\frac{{\lambda }^k}{k!}$ 其实就是 eλ$e^{\lambda }$ 的第k项。
也就是等于说，P{X=k}的概率，就是eλ$e^{\lambda }$ 的第k项 的占比例。

泊松分布，P{X=k}的值，就是eλ$e^{\lambda }$ 的第k项 的占比例, 那么 k=?时，P{X=k}最大？ 从定义上说，λ$\lambda$ 表示单位时间发生次数的平均数，或者表示 N*p 总共发生故障数。
从直观上理解，单位时间最有可能发生的次数当然是平均数，也就是 k = λ$\lambda$ 时， P{X=λ$\lambda$} 取得最大值。

4.指数分布
网上所介绍的指数分布的引出，也是从泊松分布引申而来的，可以看做是泊松分布的特殊形态， 就是令X=0，事件一个都不发生，求P{N(t)}的分布
即： “求事件发生的时间间隔”
P{X=0, N(t)} = (λt)00!∗e−λt=e−λt$\frac{(\lambda t{)}^0}{0!}\ast e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}$

”在t 时间内出现一个以上的概率“
P{X>0, N(t)} = 1−e−λt$1-e^{-\lambda t}$;

比如前面的[例题3.1] ，关注第3))个问题，
3)) 接下来的15到30分钟，会有婴儿出生的概率是多少？
P{X>=1, 0.25< t<= 0.50} = (1-e−1.5$e^{-1.5}$) - (1 - e−0.7.5$e^{-\mathrm{0.7.5}}$) =
e−0.7.5$e^{-\mathrm{0.7.5}}$ - e−1.5$e^{-1.5}$ = 0.2492%

• 泊松分布关注的问题是：t 时间内，发生k次的概率分布
  P{X=k, N(t)} = (λt)kk!∗e−λt$\frac{(\lambda t{)}^k}{k!}\ast e^{-\lambda t}$
  ===
• 指数分布是泊松分布X=0的特殊项，关注的问题是： 事件发生的时间间隔
  P{X=0, N(t)} = (λt)00!∗e−λt=e−λt$\frac{(\lambda t{)}^0}{0!}\ast e^{-\lambda t}=e^{-\lambda t}$
  或者：在t 时间内，出现一个以上的概率
  P{X>0, N(t)} = 1−e−λt$1-e^{-\lambda t}$;

5.几何分布
几何分布也是从二项分布引申而来。实际背景是重复独立试验下首次成功的概率（n重伯努利试验，首次成功的 n 值）
举例：射击n次，首次射中时的n值。
有放回地抽取样品，首次抽到次品时的抽取次数。

几何分布公式（事件首次发生的n值分布）：

P{X=n} = p(1−p)n−1$p(1-p{)}^{n-1}$ ；

纪为 X~G(p)

二项分布到几何分布的推导见二项分布最大值，推导出泊松分布，几何分布（（概统2.证明）