[数学学习笔记]无穷小的比较和等价无穷小

无穷小的比较

例：当时，都是无穷小。（通过作差法或比值法比较无穷小量）

（1）,比要快得多；

（2）,sin x和x差不多；

（3）不存在，故两者不可比。

极限不同，表示这些无穷小趋于0的“快慢”程度不同。

定义：设是同一过程中的两个无穷小

1. 如果,那么说β是比α高阶的无穷小，记作;
2. 如果，就说β和α是同阶的无穷小；特殊的，则称α和β是等价的无穷小，记作α~β；
3. 如果,就说β是比α的低阶的无穷小。

常用的等价无穷小

当时：(这里的x不仅仅代表一个狭义的变量，也可以是一个多项式)

利用等价无穷小可以求得函数近似表达式：

于是

例如：

等价无穷小的传递性

设在某极限过程中，α ~ β，β ~ γ则α ~ γ。

定理告诉我们：

    在计算只含有乘、除法的极限的时候，无穷小量可以用其等价无穷小量代替计算。 

 

例题1：求：;

错解：当时，tan x~x,sin x~x所以原式=;

正解：当时，原式

例题2：求：;

解：当 时，.所以 原式

例题3：求： ;

解：当时，

例题4：求：;

解：当时，