高等数学--不定积分与定积分(七)

时间:2024-04-12 21:01:20
不定积分概念

前面讨论的都是求一个函数F(X)的导数问题,即F’(X) =f(x),现在已知f(x),想求出它的原函数F(X),这个问题就称为不定积分问题。

①什么样的f(x)能保证它的原函数存在?如果f(x)是连续函数,它一定有原函数,注意可导必连续,连续不一定可导。
②如果f(x)有一个原函数,那么它就有无限多个原函数。

比如(sinx)’= cosx ,sinx就是cosx的一个原函数。因为(F(X)+C)’ = f(x) ,(sinx+3)‘=cosx,(sinx-20)’=cosx。
于是任意一个原函数都可以用F(X)+C来表示。

不定积分定义

在区间I上,连续函数f(x)带有任意常数项的原函数,称为f(x)的不定积分:
F(X)+C = ∫f(x)dx
∫称为积分号,f(x) 称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,x称为积分变量

例1 求∫x^2dx
解: 因为 (x^3/3)’ =x ^2,所以x ^3/3是x ^2一个原函数,因此
∫x^2dx=x ^3/3+C

可见,积分符号∫与微分符号d是互逆运算,当两个符号在一起的时候,可以抵消或者抵消后差一个常数。
d[∫f(x)dx]/dx = f(x) 或 d[∫f(x)dx] = f(x)*dx
∫dF(X)=F(X)+C
先抵消,加不加常数,要看最后一步是积分运算(加常数),还是微分运算(不加常数)。

matlab求函数的不定积分函数是int(),其具体使用格式为int(y,var),y是被积表达式(无需加dx),var是积分变量可省略。
例5 求解 ∫dx/x^3

 int(1/(x^3))

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答案只给出了一个原函数。

例6 求解∫x^2*x (1 ^2)dx

y=(x^2)*sqrt(x)
int(y)

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积分的计算要比导数的计算灵活,复杂,往往把常用的积分公式汇集成表,叫做积分表。

定积分概念

对于曲边梯形图形,想求其面积,我们可以把图形[a,b]区间分成n个小区间,这样就把整个曲边梯形分成n个窄曲边梯形,用窄矩形来近似替代每个窄曲边梯形,那么n个窄矩形的面积之和,就能近似替代总曲边梯形的面积。

对匀速直线运动,路程=速度*时间,但速度不是常量而是随时间变化的变量,路程s不能直接按匀速公式来计算,但是在很短的一段时间内,速度的变化很小,我们可以用匀速来替代。把整个时间轴划分成n等分,每一个细微时间等分中,以匀速代替变速,就可以算出那一段时间的路程近似值,那么n个等分的路程之和,就能近似替代变速运动总路程。

定积分定义

根据以上思想,设函数f(x)在[a,b]上有界,把[a,b]区间分成n个小区间,各个小区间的长度依次为:Δxn=xn-x(n-1)
在每个小区间上任取一点εi,做f(εi)*Δxi ,并作出和 s = ∑ f(εi)*Δxi i=1到n ,记λ=max{Δx1,Δx2,……,Δxn},如果当λ→0时,和的极限存在,且与闭区间[a,b]及点εi取法无关,那么称这个极限为函数f(x)在[a,b]上的定积分,记为
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a叫做积分下限,b叫做积分上限,[a,b]叫积分区间
定积分存在,则它是一个具体的数值,是个常数(如曲边梯形的面积),而不定积分是一个函数表达式。

matlab求解定积分函数int(y,x,a,b)

例子1 求解∫ x^2dx a=0,b=1

y=(x^2)
int(y,x,0,1)

高等数学--不定积分与定积分(七)
定积分的一些性质:
当a=b相等时,高等数学--不定积分与定积分(七)
很好理解,没有面积。

高等数学--不定积分与定积分(七)
7、∫dx=b-a

8、如果在区间上f(x)<=g(x),那么∫f(x)dx <= ∫g(x)dx

9、设M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,那么m(b-a)<=∫f(x)dx<=M(b-a)

10、积分中值定理: 在[a,b]上至少存在一点ε,使∫f(x)dx = f(ε)(b-a),几何解释是在区间[a,b]上至少存在一点ε,使得以[a,b]为底,y=f(x)为边的曲边梯形面积等于以[a,b]为底,高度为f(ε)的一个矩形的面积。f(ε)可以叫做区间上的平均值,平均高度,平均速度。

牛顿-莱布尼茨公式

如果函数F(X)是连续函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数,那么 ∫f(x)dx =F(b) - F(a) ,又称微积分基本定理,它表明一个连续函数在区间[a,b]上的定积分等于它任意一个原函数在区间[a,b]上的增量。

所以我们只需要求出不定积分(原函数),再代入a,b即可求出定积分。