单变量微积分笔记——积分的应用

本文内容对应我的博客中微积分笔记总目录下的第四章，积分的应用。

4. 积分的应用

4.1 平均值和加权平均值（Averages and Weighted Averages）

连续平均值的定义：
$\text{Continuous Average}=\frac{1}{b-a}\int_a^bf(x)dx$Continuous Average=b−a1​∫ab​f(x)dx
注意，平均值与选择的变量有关，比如求半圆高度的平均值，对$x$x轴和对圆心角$\theta$θ会算出不同的结果，这是因为，对$x$x轴而言，分母是半圆的直径，而对于圆心角$\theta$θ而言，分母则是半圆的周长。

加权平均值的定义：
$\text{Weighted Average}=\frac{\int_a^bf(x)w(x)dx}{\int_a^bw(x)dx}$Weighted Average=∫ab​w(x)dx∫ab​f(x)w(x)dx​
加权平均值在概率问题中非常常见。

4.2 求两条曲线包围下的面积

如下图所示，
我们要求的面积为蓝色区域，除此之外，我们还需要知道两条曲线的交点的坐标。之后我们可以得到，
$\text{Area}=\int_a^b\underbrace{(f(x)-g(x))}_{\text{Height}}\underbrace{dx}_{Base}$Area=∫ab​Height(f(x)−g(x))​​Basedx​​
在具体情况中，一定要选好哪个变量是自变量，有一些情况需要我们颠倒横轴纵轴来帮助我们简化面积公式。比如下图，求$x=y^2$x=y2 与$y=x-2$y=x−2 所包围形成的面积

很明显，正常求解过程中，横向的抛物线从正常的角度来看不能被看成函数，而且需要把面积竖直分成两部分，但是交换$X,\ Y$X, Y轴的顺序反而会大大简化运算（把$y$y 看作自变量）。

4.3 求二维曲线轨迹长度（Arc Length）、三维曲面面积和体积（Surface and Volume）

在具体求轨迹长度之前，需要先引入参数方程，因为不同形状的曲线或者是之后多变量微积分中的曲面，根据选取的坐标系的不同，运算量也会不同。比如矩形类或者长方体更适合常用的笛卡尔坐标系（$xyz$xyz坐标系），而圆柱类，球类则更适合柱坐标系和球坐标系。

4.3.1 坐标系和参数方程（Coordinates and Parametric Equations）

极坐标和笛卡尔坐标系（Polar Coordinates and Cartesian Coordinates）

因为是单变量微积分，坐标系只是二维的。对于那些通过旋转或者依赖角度而生成的曲线来说，把笛卡尔二维坐标系转化为极坐标是非常方便的。
极坐标转化为笛卡尔坐标的公式为:
$x=r\cos \theta$x=rcosθ$y=r\sin \theta$y=rsinθ
笛卡尔坐标转化为极坐标的公式为:
$r=\sqrt{x^2+y^2}$r=x2+y2​$\theta=\tan^{-1}\frac{y}{x}$θ=tan−1xy​
其中$r$r是到坐标原点的距离（一般来说范围是$0\leq r\leq \infty$0≤r≤∞），$\theta$θ 是点与原点的连线和水平轴所成的角（一般来说范围是$-\pi\leq\theta\leq\pi$−π≤θ≤π 或者$0\leq\theta\leq 2\pi$0≤θ≤2π）

例如，将$y=1$y=1转化到极坐标中
$y=1=r\sin\theta$y=1=rsinθ$r=\frac{1}{\sin\theta}$r=sinθ1​

参数方程

参数方程的目的是将原本的两个变量$x,\ y$x, y分别表示成另外一个变量（比如说时间$t$t）的函数，这种方式在实际应用中是非常有用的，因为我们可以通过中间变量来获得$x,\ y$x, y的关系：
$\left\{ \begin{aligned} x&=x(t)\\ y&=y(t) \end{aligned} \right.${xy​=x(t)=y(t)​
常见的例子就是圆的参数方程
$\left\{ \begin{aligned}x&=r\cos t\\y&=r\sin t\end{aligned}\right.${xy​=rcost=rsint​
也就是$x^2+y^2=r^2$x2+y2=r2。

4.3.2 弧长对应的微分形式

1. 笛卡尔坐标系下求曲线弧长的微分形式是:
$(\Delta s)^2\approx(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$(Δs)2≈(Δx)2+(Δy)2
转化成微分形式：
$ds^2= dx^2+dy^2\quad\to\quad ds=\sqrt{dx^2+dy^2}$ds2=dx2+dy2→ds=dx2+dy2​$ds=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}\ dx=\sqrt{1+\frac{dy^2}{dx^2}}\ dx=\sqrt{1+f'(x)^2}\ dx$ds=1+dx2dy2​​ dx=1+dx2dy2​​ dx=1+f′(x)2​ dx
2. 极坐标系下求曲线弧长的微分形式是:
$ds=rd\theta$ds=rdθ
简单的弧长计算。

3. 参数方程下求曲线弧长的微分形式是:
$ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{\Big(\frac{dx^2}{dt^2}\Big)+\Big(\frac{dy^2}{dt^2}\Big)}\ dt$ds=dx2+dy2​=(dt2dx2​)+(dt2dy2​)​ dt

4.3.3 壳层法和圆盘法（Methods of Shells and Disks）——应对旋转类几何问题

普通切割法

普通切割法源于最简单的微分方法，将一个三维物体沿某个方向切成一小片。这种方法适用于竖直堆砌的底面不为圆类的物体
$\Delta V\approx A\cdot\Delta x$ΔV≈A⋅Δx这里$A$A是每一小片的底面积，也是关于某一变量$x$x的函数，$\Delta x$Δx是厚度。上面的式子取极限再积分之后就是
$V=\int A(x)dx$V=∫A(x)dx

壳层法

壳层法求体积
壳层法求体积一般用于曲线绕竖直轴旋转的情况，如下图所示。

壳层法本质就是叠加每一层壳（通俗理解就是薄薄的一个空心圆柱体），微分的空心圆柱体的体积公式类似于厚度极小的长方体，由侧面积乘厚度得到。
$dV=\underbrace{2\pi xf(x)}_{\text{Side Area}}\cdot \underbrace{dx}_{\text{Thickness}}$dV=Side Area2πxf(x)​​⋅Thicknessdx​​
通过积分可以得到公式:
$V=\int_a^b\underbrace{2\pi xf(x)}_{\text{Side Area}}\cdot \underbrace{dx}_{\text{Thickness}}$V=∫ab​Side Area2πxf(x)​​⋅Thicknessdx​​
（注意！这里的$f(x)$f(x)只是表示高度，不一定和曲线的表达式一样，比如上图中的$f(x)=a-x^2$f(x)=a−x2而不是$f(x)=x^2$f(x)=x2）

圆盘法

圆盘法求体积

圆盘法一般用于曲线绕水平轴旋转的情况。如下图，
可以发现旋转后的体积可以通过对$x$x轴某处的一小块圆盘做积分得到。微分形式是：
$dV=\underbrace{\pi f(x)^2}_{\text{Base Area}}\cdot\underbrace{dx}_{thickness}$dV=Base Areaπf(x)2​​⋅thicknessdx​​
积分可以得到:
$V=\int_a^b\underbrace{\pi f(x)^2}_{\text{Base Area}}\cdot\underbrace{dx}_{thickness}$V=∫ab​Base Areaπf(x)2​​⋅thicknessdx​​

圆盘法求曲面面积（Surface Area）

对于旋转体的曲面面积，可以类比圆柱的侧面面积公式，底面周长与高度的乘积。而对于一般旋转体而言，就是一小段弧长作为圆盘的厚度。
如果物体是绕$y$y轴而成的，面积微元为（用$ds$ds表示一小段弧长）：
$dS=\underbrace{2\pi x}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}$dS=Circumference2πx​​⋅Heightds​​
积分之后就得到：
$S=\int_a^b\underbrace{2\pi x}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}$S=∫ab​Circumference2πx​​⋅Heightds​​

如果物体是绕$x$x轴而成的，面积微元为（用$ds$ds表示一小段弧长）：
$dS=\underbrace{2\pi y}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}$dS=Circumference2πy​​⋅Heightds​​
积分之后就得到：
$S=\int_a^b\underbrace{2\pi y}_{\text{Circumference}}\cdot \underbrace{ds}_{\text{Height}}$S=∫ab​Circumference2πy​​⋅Heightds​​

参数方程下的曲面面积

如果变量$x,\ y$x, y表示成了参数方程，这时候只需要把弧长公式换成参数方程下的情况即可，其他思路不变。

4.4 求概率（Bell Curve）

（积分应用之概率求解请参考上面的链接。）

4.5 微分方程简介（Differential Equations)

简单举例

大三大四学控制的时候印象最深刻的就是微分方程组了。微分方程如其名，就是把函数的微分引入方程当中，比如说对汽车的控制需要知道加速度，速度，角速度，角加速度的信息，而这些信息都是关于位移或者角度的微分。
本节只是对微分方程的简介，如果以后听了MIT 18.03微分方程这门课后，我也会专门做一下笔记。
经典的一个微分方程的例子是：
$\Big(\frac{d}{dx}+x\Big)y=0$(dxd​+x)y=0
其中$\Big(\frac{d}{dx}+x\Big)$(dxd​+x)被称为湮没算符（annihilation operator）
微分方程的解法核心就是分离变量（Separation of Variables），本例中，打开括号后方程可以写成：
$\frac{dy}{dx}=-xy\quad\to\quad\frac{dy}{y}=-xdx$dxdy​=−xy→ydy​=−xdx
两边同时积分，
$\int \frac{dy}{y}=-\int xdx$∫ydy​=−∫xdx$\ln y=-\frac{x^2}{2}+C\quad (\text{assume} \ y>0)$lny=−2x2​+C(assume y>0)$y=\exp(-\frac{x^2}{2}+C)=e^ce^{-\frac{x^2}{2}}=Ae^{-\frac{x^2}{2}}\quad(A=e^c)$y=exp(−2x2​+C)=ece−2x2​=Ae−2x2​(A=ec)
结果类似标准正太分布。

分离变量

一般来说，微分方程的形式为：
$\frac{dy}{dx}=f(x)g(y)$dxdy​=f(x)g(y)
分离变量之后再积分为：
$\int \frac{dy}{g(y)}=\int f(x)dx$∫g(y)dy​=∫f(x)dx
令：
$H(y)=\int \frac{dy}{g(y)};\ \ F(x)=\int f(x)dx$H(y)=∫g(y)dy​;  F(x)=∫f(x)dx
$H(y)=F(x)+C$H(y)=F(x)+C就是微分方程的隐式解（Implicit Solution）