多变量微积分笔记11——变量替换
在二重积分中，极坐标替换是一种特殊情况，更一般的变量替换后的面积元是通过雅可比行列式来关联，替换后的积分域也会随之变动。
变量替换
二重积分可以计算面积，现在有一个椭圆 (x/a)2 + (y/b)2 = 1，如何计算该椭圆的面积？
很容易写出Area = ∫∫Rdxdy，积分区域是(x/a)2 + (y/b)2 = 1，现在的问题是如何计算的内外积分的积分域？这当然可以通过代数法转换，将x写作y的表达式，但这个复杂的表达式多少会有些尴尬。椭圆也不能轻松地转换为极坐标，因为r的上限也是变化的。
现在尝试一种新的方案，如果令u = x/a， v = y/b，则椭圆将转换为 u2 + v2 = 1，退化成圆。对u和v计算微分：
变量替换的主要目的是简化被积函数或积分域，从而更容易地求得积分。
变量的变化率
上面方法将原变量表达式转化为一个新的简单变量，从而求得结果，其中最重要的步骤是求得dxdy和dudv之间的关系，那么对于更复杂的情况，这种方法还能否适用？
假设出于某种目的，我们做了这样的变换：u = 3x – 2y，v = x + y。现在dA是xy坐标系的面积积元，dA = dxdy；dA’ 是uv坐标的面积积元，dA’ = dudv。二重积分的思想是ΔA的面积乘以ΔA的函数值从而得到小柱体，再把这些小柱体相加，但是变换成uv坐标后，ΔA’的面积并不等于ΔA的面积：
ΔA≠ΔA’
这实际上是线性变换，用一个简单的方法说明，让ΔA是小正方形，Δx = Δy = 1，变换后将得到一个平行四边形：
可以利用叉积求得ΔA’ 的面积：
由此可见，ΔA’ = 5ΔA。
值得注意的是，如果将Δx和Δy代入u和v，得到Δu = 3Δx – 2Δy，Δv = Δx + Δy，由于变换后的图形并不是正方形，所以ΔA’ ≠ ΔuΔv，ΔA’ 是平行四边形两条边的向量的叉乘：
至此，我们确定了dxdy和dudv之间的关系：
雅可比行列式
如果二元积分的被积函数f(x,y)中的变量被替换为u = u(x, y)，v = v(x, y)，那么u和v的微小改变，是轻轻扰动x和y的综合结果：
如果用矩阵表示：
这实际上说明，对于线性变换，小矩形将转换为平行四边形，面积的放缩比例就是偏导的行列式。如果A = ΔxΔy是一个顶点在原点的矩形：
由于这个行列式的结果和转置后结果一致，所以放缩的倍数就是之①的矩阵行列式。这个行列式被称为雅可比行列式，用数学符号表示：
雅可比行列式描述了从xy坐标到uv坐标后，面积积元的变换比率。需要注意的是，雅可比行列式需要加上绝对值，因为行列式可能出现负值，但面积一定是正的。
用雅可比式验证极坐标
在《多变量微积分9——极坐标的二重积分》中提到过，从xy坐标转换到极坐标后，面积积元的变换率是 dxdy = rdrdθ：
用雅可比式转换，注意此处是用x和y替换r和θ：
这再一次说明数学是可以互相佐证的，高级理论可以证明低级理论，低级理论又可以为高级理论的提供推导步骤。
变量替换后的积分域
用变量替换计算下面的积分：
如果不使用变量替换，直接计算结果：
在试用变量替换时，首先使用雅可比式计算dudv和dydx之间的比率，然后转换被积函数：
现在的主要问题是转换后的积分域。先来看xy坐标系，由于积分域0 < x < 1，0 < y < 1，所以积分的范围就是一个正方形：
现在需要找出u和v是如何变化的。
在原坐标系计算积分域
可以这样思考，对于∫∫vdudx，先计算内积分，也就是先对u积分，把v看作常量，u看作变量，也就是把v = xy看作常量，u = x看作变量。把v = xy看作常量，意味着xy = C是一个双曲线：
如果v的值固定，那么v就是双曲线上的一点。对于不同的v，能取到不同的双曲线：
把双曲线加入到正方形中：
现在u = x是变量，v = xy是常量，这意味着当x变化时，就是在其中一条双曲线上移动。对于∫∫vdudx，我们首先回答的问题是当v固定时，u是积分域是什么？
如上图所示，在离开积分域时，u = x = 1；在进入积分域时y = 1，所以：
现在完成了内积分。对于外积分来说，就是在正方形区域内双曲线族所能达到的最大值和最小值：
通过坐标变换计算积分域
还可以通过坐标系变换的方式计算积分域。xy坐标系在转换成uv坐标系时，有4条边需要解释：
x = 0和x = 1转换后：
y = 1，转换后，v = xy = x = u；y = 0，转换后v = 0：
转换后的积分域就是三角形围成的面积。
如果以u为外积分，v为内积分，可以确定0 < u <1，v的取值如下图所示：
可以看到，转换前后的计算结果相同。
综合示例
示例1
用变量替换计算积分∫∫R(4x2 – y2)4dxdy，u = 2x – y，v = 2x + y，R区域如下图所示：
雅可比行列式：
为了计算R’，尝试将xy坐标系转换为uv坐标系，只需要对边和点进行解释：
对比两个三角形，R的面积R = 1/2(2 * 1/2) = 1/2；R’的面积R’= 1/2(2 * 2) = 2；R’ = 4R，坐标转换后面积放大了4倍，这也验证了雅可比表达式，dudv = 4dxdr 。
三角形的斜边是u = -v，现在可以很容易得出转换后的积分域：
示例2
计算变量替换后的积分域。
∫∫R1/x2dxdy变量替换u = x2 – y2，v = y/x，xy坐标系的R区域中第一象限，在y=1/x下方，x2 – y2=1上方，如下图所示：
转换坐标系后，u = x2 – y2 = 1：
坐标系转移后：
设两条曲线的交点是(1,a)，可知积分域：
雅可比行列式：
现在需要用uv代替1/x2：
作者：我是8位的
出处：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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