《普林斯顿微积分读本》第五至十二章：连续与导数

目录

• 连续与间断
• 1. 间断点
• 2. 连续
• 3. 垂直渐近线和水平渐近线
• 导数与微分

连续与间断

1. 间断点

间断点：函数的未定义点，以左右极限是否存在可分为第一类和第二类间断点。

• 第一类间断点：可去间断点( $\lim-=\lim+$lim−=lim+)、跳跃间断点($\lim-≠\lim+$lim−​=lim+)
• 第二类间断点：无穷间断点( $\lim = ∞$lim=∞)、震荡间断点( $\lim DNE$limDNE）
  

2. 连续

点 $x_0$x0​ 连续：$\lim_{x \to x_0} f(x) = f(x_0)$limx→x0​​f(x)=f(x0​)

区间 $(a,b)$(a,b) 连续：$f(x)$f(x) 在区间$(a,b)$(a,b) 每一处都点连续，$\lim_{x \to a^+} f(x) = f(a)$limx→a+​f(x)=f(a) 且 $\lim_{x \to b^-} f(x) = f(b)$limx→b−​f(x)=f(b) 保证端点连续

• 连续函数的四则运算：$f(x)$f(x) 和 $g(x)$g(x) 在点 $x_0$x0​ 连续，则 $f(x)⊙g(x)$f(x)⊙g(x) 在点 $x_0$x0​ 连续， 其中 $⊙$⊙ 代表加减乘除符号，所以基本初等函数运算产生的初等函数连续
• 复合函数连续：$y=f(u)$y=f(u) 在点 $u_0$u0​ 处连续， $u=g(x)$u=g(x) 在 $x_0$x0​ 处连续且 $u_0 = g(x_0)$u0​=g(x0​)，则 $y= f[g(x)]$y=f[g(x)] 在点 $x_0$x0​ 处连续
• 反函数连续： $y=f(x)$y=f(x) 在区间 $[a，b]$[a，b] 上单调、连续，则其反函数在相应的定义区间上单调、连续

3. 垂直渐近线和水平渐近线

垂直渐近线 $x=x_0$x=x0​：$\lim_{x \to x_0^+} f(x)$limx→x0+​​f(x) 和 $\lim_{x \to x_0^-} f(x)$limx→x0−​​f(x) 至少有一个极限是 $∞$∞ 或 $-∞$−∞

右侧水平渐近线 $y =L$y=L：$\lim_{x \to ∞} f(x) = L$limx→∞​f(x)=L
左侧水平渐近线 $y =M$y=M：$\lim_{x \to -∞} f(x) = M$limx→−∞​f(x)=M

渐近线两个常见错误认知：(1) 左右水平渐近线不需要相同 (2) 函数不可能与渐近线相交

$\lim_{x \to -∞} tan^{-1}(x) = -\frac{π}{2}\qquad \qquad \lim_{x \to ∞} tan^{-1}(x) = \frac{π}{2}$x→−∞lim​tan−1(x)=−2π​x→∞lim​tan−1(x)=2π​

$渐近线y = 0：\lim_{x \to ∞} \frac{sinx}{x} = 0$渐近线y=0：x→∞lim​xsinx​=0

导数与微分