《计算几何》01.Convex Hull

时间:2024-04-12 16:43:17

Convex Hull

Divide-and-conquer

Merge

《计算几何》01.Convex Hull

将大问题分解成小问题,最后进行合并。

Common Kernel

和归并排序一样,我们将点分成两个子集,分别求凸包,问题就变成了如何将两个凸包合并。

《计算几何》01.Convex Hull

如何将两个凸包处理成星形多边形

为了找到Star-shape-polygon,我们要找到两个多边形相交的公共的点,那么两个多边形相交会出现什么情况呢?

《计算几何》01.Convex Hull

如上图所示,如s1s_1,是比较理想的情况,我们很容易找到公共点,对于s2s_2,找到公共点的可能就会小很多。

更坏的情况,例如s3s_3,我们甚至无法找到两个凸包的公共点,那么如何处理呢?

Interior

对于一个凸包来说,我们如何找到一个点使得这个点在凸包的内部呢?

我们可以选择凸包上任意三个点,选择这三个点组成的三角形的重心即可,计算复杂度为常数时间。

那么我们现在判断选出的内点是否在另一个凸包的内部,如果是:

《计算几何》01.Convex Hull

可以发现两个凸包分别对于内点成一个环形的有序序列(图中黄色和蓝色的直线),则问题变成了经典的环形归并。归并之后再次进行Graham-Scan即可。

那么如何判断所选内点是否在另一个多边形内部呢?

In-Convex-polygon-Test。但凸包是动态的,所以要用n次To-Left-Test:

《计算几何》01.Convex Hull

幸运的是,O(n)O(n)次TLT并不会影响整体算法的复杂度,因为我们可以将这nn次操作都可以纳入Merge的过程中。

Exterior

接下来我们讨论下一种情况,所选内点落在另一个子凸包的外侧。

《计算几何》01.Convex Hull

如图所示,我们可以找出图中s,ts,t 两个切点,找到sttsst和ts 两个线段。同理,tsts线段在总凸包中没有贡献。

那么我们可以得到了一个环形有序序列和一个线性有序序列,进行归并,再次Graham-Scan。

Divide-and-conquer (2)

Preprocessing

归并算法我们可以看到,有些过于复杂。对于两个图包:

《计算几何》01.Convex Hull

如果他们沿着水平方向是可分割的,彼此独立,那么合并就非常的简单。

将点集中的坐标按x轴排序,取中点分割即可,那么我们关注的就是两个凸包中的两对点l,rl,r

Common Tangents

《计算几何》01.Convex Hull

找到两个凸包的公切线(Common Tangents)。那么如何找这两个凸包的公切线呢?问题可能很复杂:

我们从rrll开始:

[外链图片转存失败,源站可能有防盗链机制,建议将图片保存下来直接上传(img-qGCTI8Y5-1584153950700)(C:\Users\szx74\Desktop\Blog\计算几何\image-20200314100712514.png)]

先将两个点连起来,那么恩么找到这两个点呢?我们在从最开始从下向上归并的过程中,记下每个凸包的l,rl,r即可。

接下来我们思考连接了r,lr,l之后的动作。

《计算几何》01.Convex Hull

对于每次固定的rr,找到最优的右侧的ll,使得ll两侧的点都在它的同一侧,这样我们就得到了局部最优的ll,那么我们反观之前固定的rr,同样的方法找到局部最优的rr,再反观ll,反复进行,直到保证r,lr,l两个点都为最优,既两个点的临点皆再他们的同一侧,这样我们就找到了一条切线。时间复杂度为O(n+m)O(n+m)