先简短地回答下我对“什么是导数”的认识：导数是用来找到“线性近似”的数学工具。
下面我来解释一下，为什么我是这样认为的。
在我学习微积分的过程中，我对导数的认知经历了三次变化：
- 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度
- 导数是用来找到“线性近似”的数学工具
- 导数是线性变换
我认为第一种认知比较片面，在多元函数的情况下甚至是错误的。第二种认知更接近微积分的本质，第三种认知是为了实现第二种认知发展出来的。
因为种种原因，我们的学习都是从第一种认知开始的。我会在本文分别介绍一下这三种认知。最后会通过第三种认知回答“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”
1 导数是变化率、是切线的斜率、是速度、是加速度
微积分的发明人之一是牛顿，牛顿主要还是研究物理为主，微积分不过是他发明出来研究物理的一个数学工具（大师就是这么厉害）。
因为牛顿研究物理的缘故，所以牛顿用变化率的方式引入了导数（牛顿称之为“流数”）。
在物理里面变化率还是很自然的概念，比如为了求瞬时速度：
同理，求加速度的话就是求速度对于时间的变化率，这里就不赘述了。学习物理的一般习惯把导数看作变化率。
还可以顺便得到了切线的斜率：
我们一般是上面这样的学习过程，所以我们认为，导数是曲线的变化率、是瞬时速度、是加速度，还可以是切线的斜率。
1.1 但是！
把导数看作是变化率、是切线的斜率，在一元函数的时候是正确的，但是，敲黑板，说但是了哈。
在二元函数中，比如这样一个曲面上的一点
：
在曲面上可以做无数条过点的曲线（图上随便画了三根）：
把导数看作是变化率、是切线的斜率，在多元函数中是片面的，甚至是不正确的。
我们必须要重新审视“导数是什么”这个问题。
顺便说一下，把导数继续看作变化率，切线的斜率，可以得到偏导数、方向导数、全导数，可以参看我之前写过的一个回答： 什么是全导数？ 。
2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具
讲这个之前，我们要先理解微积分的基本思想。这个思想在我的很多回答中都提到了，这里简单的阐述下。
2.1 微积分的基本思想
微积分的基本思想是“以直代曲”：
“以直代曲”的意思就是，切线可以在切点附近很好的近似曲线：
我觉得下面这幅图也挺有意思，如果在曲线上多选几个点，都作出附近的切线，我们可以透过切线看到曲线的轮廓：
这里我希望给你一个直观印象，切线可以在切点附近很好的近似曲线。如果仔细看泰勒公式、洛必达法则等，还会通过代数发现这一事实。
2.2 导数是用来找到“线性近似”的数学工具
因为“以直代曲”是微积分的基础，所以我们首要任务就是要找到这个“直”，也就是切线，也就是所谓的“线性近似”。导数就是为了完成这个任务需要使用的数学工具。
我们来看看，在一元函数中：
因此，在一元函数中，我们把导数看作斜率，可以找到我们想要的“线性近似”（切线），但是在二元中，我们需要新的技术手段。
3 导数是线性变换
3.1 二元函数的“线性近似”
导数最主要的目的是找到“线性近似”，在一元函数的时候是要找到切线，在二元函数的时候是要找到一个切平面（可以参考我之前的回答： 如何理解全微分？ ）：
一个平面是没有斜率的概念的，因此我们不能把导数继续看作斜率了，我们需要别的方法来找到这个切平面。
3.2 线性变换
对线性代数不熟悉的话，可以先看下我之前的回答 什么是仿射变换？ 。下面就会用到大量的线性代数基础知识，我不再进行解释了。
还是从一元的时候开始推：
上图的
指向右边，实际上求出的
是右导数，我换个方向就可以求出左导数：
如果
，相当于左右导数相等，我们就称为此点可导。
顺便说一句，此时在 点附近同样也有
。
二元函数的时候，有无数的方向（不像一元的时候只有左右两边）：
我们把这些分别记为
，那它们的切线分别为：
导数分别就是 
（可以理解这些都是方向导数）。
导数：如果有，那么此点可导，此点导数即为
为什么就是导数？不是还没有完成找到切平面的任务吗？
3.3 通过导数来找到切平面
首先，所有的肯定是共面的：
因为此点可导，即所有的的导数都是，所以变换后的结果也共面（线性变换的特点是，变换前是共面的，变换后也是共面的）：
看看动画吧（可以旋转视角来观察）：
此处有互动内容，点击此处前往操作。
对所有的
的都进行
变换，实际上就得到了切平面：
至此，导数完成了找到“线性近似”的任务。这里也很自然的回答了“多元微积分中，可微函数的切线为什么会共面（此平面即切平面）？”
注意，有一点需要特别说明的是，因为矢量的起始点要求是在原点，但是我上面把起始点放在点了，所以实际上是仿射变化，所以实际上，
仍然是导数。