线性代数笔记系列（二）

矩阵：

• 一、矩阵相关概念：
• 二、矩阵初等变换：
• 三、逆矩阵相关性质：
• 四、分块矩阵的运算法则：
• 五、方阵的特征根和特征向量：
• 六、正交矩阵：
• 七、正交向量组：
• 八、相似矩阵：
• 九、对角化：
• 十、合同矩阵：
• 十一、二次型：
• 十二、正定矩阵：
• 十三、矩阵秩的相关定理：

• 一、矩阵相关概念：

概念	释义
方阵	行数和列数相等的矩阵
对角矩阵	除了主对角线上元素外，其他元素均为0的矩阵，记作$diag(a_1,a_2,...,a_n)$diag(a1​,a2​,...,an​)
单位矩阵	主对角线元素全为1的对角矩阵，记为$E$E
逆矩阵	对于矩阵$A$A，若存在矩阵$B$B使得$AB = E$AB=E，则称$B$B为$A$A的逆矩阵，记作$A^{-1}$A−1

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• 二、矩阵初等变换：

（Ⅰ）型初等变换 => 数乘变换 => E(i(k))
（Ⅱ）型初等变换 => 消法变换 => E(i,j(k))
（Ⅲ）型初等变换 => 交换变换 => E(i,j)

=> 初等矩阵的本质意义：左乘矩阵为初等行变换，每一行代表着对被乘矩阵该行的变换，而左乘矩阵那一行的第n列的数字X代表着将被乘矩阵第n行乘以X加到待变换行上； 右乘为列变换，解释同左乘之理；

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• 三、逆矩阵相关性质：

1）主对角矩阵的逆矩阵：$diag(a_1,a_2,...,a_n) \Rightarrow diag(\frac{1}{a_1},\frac{1}{a_2},....\frac{1}{a_ n})$diag(a1​,a2​,...,an​)⇒diag(a1​1​,a2​1​,....an​1​)；

2）副对角矩阵的逆矩阵：$diag'(a_1,a_2,...,a_n) \Rightarrow diag'(\frac{1}{a_n},\frac{1}{a_{n-1}},....\frac{1}{a_ 1})$diag′(a1​,a2​,...,an​)⇒diag′(an​1​,an−1​1​,....a1​1​)；

3）2x2矩阵的逆矩阵：
$\left[\begin{matrix} A & B \\ C & D \\ \end{matrix}\right] \Rightarrow \left[\begin{matrix} D & -B \\ -C & A \\ \end{matrix}\right]$[AC​BD​]⇒[D−C​−BA​]

4）逆矩阵的行列式： $|A^{-1}| = \cfrac{1}{|A|}$∣A−1∣=∣A∣1​

5）逆矩阵的运算法则：
① $(AB)^{-1} = B^{-1} \times A^{-1}$(AB)−1=B−1×A−1 ;

② $(A+B)^{-1}=B^{-1}\times(A^{-1}+B^{-1})\times A^{-1}$(A+B)−1=B−1×(A−1+B−1)×A−1

6）逆矩阵的求解方法：
①伴 随矩阵法： $A^{-1} = \cfrac{A^*}{|A|}$A−1=∣A∣A∗​；

② 高斯-乔丹消元法：$(A | E) \Rightarrow (E | A^{-1})$(A∣E)⇒(E∣A−1)

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• 四、分块矩阵的运算法则：

1）若$A_{m\times n}, B_{m\times n}$Am×n​,Bm×n​采用相同的分块法，可以直接将子块当作元素进行加减运算；

2）若$A_{m\times l}, B_{l\times n}$Am×l​,Bl×n​各对应位置的子块符合矩阵乘法的行列条件，则可以直接将子块当作元素进行乘法运算；

3）若矩阵：$A =\left[\begin{matrix} A_{11}&A_{12}&...&A_{1n} \\ A_{21}&A_{22}&...&A_{2n} \\ A_{m1}&A_{m2}&...&A_{mn} \\ \end{matrix}\right]$A=⎣⎡​A11​A21​Am1​​A12​A22​Am2​​.........​A1n​A2n​Amn​​⎦⎤​

则 $A^T =\left[\begin{matrix} A_{11}^T&A_{21}^T&...&A_{m1}^T \\ A_{12}^T&A_{22}^T&...&A_{m2}^T \\ A_{1n}^T&A_{2n}^T&...&A_{mn}^T \\ \end{matrix}\right]$AT=⎣⎡​A11T​A12T​A1nT​​A21T​A22T​A2nT​​.........​Am1T​Am2T​AmnT​​⎦⎤​

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• 五、方阵的特征根和特征向量：

1）定义：使得方阵A 满足 $|A-λE|=0$∣A−λE∣=0的λ的值，叫做A的特征根，由每个λ确定的矩阵方程：$(A-λE)X = O$(A−λE)X=O 的非零解向量，叫做A的特征向量，对应的方程称为特征方程；

2）性质：
① n阶方阵在复数范围内有n个特征根（注意：重根按照重数计算）；

② $\Sigma \lambda_i = \Sigma a_{ii}$Σλi​=Σaii​，(等式右边称为矩阵A的迹)；

③ $\prod \lambda_i = |A|$∏λi​=∣A∣；

④ 若λ是A的特征根，则f(λ) 是f(A)的特征根（$A^{-1}$A−1有特征值$λ^{-1}$λ−1）;

⑤ 若λ是A的特征根，则$A^*$A∗有特征根$\cfrac{|A|}{λ}$λ∣A∣​，且二者有相同的特征向量；

⑥ 不可逆矩阵A必有特征根0；

⑦ 矩阵不同的特征值对应的特征向量一定线性无关;

⑧ 若定义：A的某个特征值λ的特征子空间的维数叫做λ的几何重数，同时称λ的重数也称为代数重数 ，则任意特征值的几何重数不超过其代数重数 => 单根有唯一的特征向量，重根的线性无关的特征向量个数不超过重根数；

⑨ $A\times B$A×B与$B\times A$B×A有相同的非零特征值，且若$A\times B$A×B的特征向量为x，则$B\times A$B×A的特征向量为Bx；

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• 六、正交矩阵：

1）定义：满足$A^T = A^{-1}$AT=A−1的矩阵；

2）性质：

① $|A| = \pm1，λ(A) = \pm1$∣A∣=±1，λ(A)=±1;
② 若|A| = 1，则至少有一根1 ； 若|A| = -1，则至少有一根 -1;
③ A的行（列）向量构成标准正交向量组；
④ 若$A$A是正交矩阵，则$A^{-1},A^T$A−1,AT也是正交矩阵；
⑤ 若$A,B$A,B是正交矩阵，则$A\times B$A×B也是正交矩阵；
⑥ $a_{ij} = |A|\times A_{ij}$aij​=∣A∣×Aij​；

3）施密特（标准）正交化：

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• 七、正交向量组：

1）定义：若向量组所有向量两两正交且不含零向量，则称其为正交向量组，特殊地，若所有向量均是单位向量，则称其为标准正交向量组，也称法正交组；

2）性质：
① 一对正交的向量一定线性无关，则正交向量组必定线性无关；

② 欧几里得空间$R^n$Rn中n个向量构成的（标准）正交向量组一定是$R^n$Rn的一个基，称为**(标准)正交基**;

③ 若向量$β$β可用正交向量组$α$α线性表示，且有表达式：$β = ∑k_ia_i$β=∑ki​ai​，则$k_i = \cfrac{(β,a_i) }{ (a_i,a_i)}$ki​=(ai​,ai​)(β,ai​)​

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• 八、相似矩阵：

1）定义：若存在可逆矩阵P，使得$B = P^{-1}AP$B=P−1AP，则称矩阵A、B互为相似矩阵，记作：$A～B$A～B，同时称P为相似变换矩阵；

2）性质：
① 若$A～B$A～B，则：$|A|=|B|, f(A)～f(B),λ_A = λ_B$∣A∣=∣B∣,f(A)～f(B),λA​=λB​；
② 若$B=P^{-1}AP$B=P−1AP,则特征向量$x_B = P^{-1} x_A$xB​=P−1xA​；
③ 相似不变量包括：矩阵的行列式、秩、迹，特征值等；

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• 九、对角化：

1）定义：若存在可逆矩阵P，使得$diag(a_1,a_2,...,a_n) = P^{-1}AP$diag(a1​,a2​,...,an​)=P−1AP，则称A能对角化， 且此时$\{a_1,a_2,...,a_n\}${a1​,a2​,...,an​} 即是A的n个特征根，P是A的特征列向量组成的矩阵;

2）可对角化的判定定理：

定理	充分必要性
A有n个线性无关的特征向量	充要
A的每个k重根都有k个线性无关的特征向量	充要
A有n个不同的特征值	充分
A为实对称矩阵	充分
$A^2 = E$A2=E	充分

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• 十、合同矩阵：

1）定义：若存在可逆矩阵C，使得$C^{T}AC=B$CTAC=B，则称A与B合同；特殊地，若存在可逆矩阵C，使得$C^TAC=diag(a_1,a_2,...,a_n)$CTAC=diag(a1​,a2​,...,an​)，则称A能合同对角化；

2）可合同对角化判定定理：

若A是实对称矩阵，则A的所有特征值均为实数，且不同特征值的特征向量相互正交，且一定存在正交矩阵P使得A能合同对角化；

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• 十一、二次型：

1）定义：n个变量的二次多项式$f(x_1,x_2,...,x_n)$f(x1​,x2​,...,xn​)称为二次型；特殊地，若二次型只含平方项，则称其为标准型，若标准型的系数只在{1，-1，0}中取，则称其为规范型 ；

2）性质：

① 每一个二次型与实对称矩阵一一对应，即$f(x_1,x_2,...,x_n) = x^TAx$f(x1​,x2​,...,xn​)=xTAx，其中A是由二次型的系数$a_{ij}$aij​组成的实对称矩阵；

3）求二次型的标准型的方法：

① 通过正交变换，即令$x=Py$x=Py，其中P为正交矩阵，则可将一般二次型$f(x_1,x_2,...,x_n)$f(x1​,x2​,...,xn​)转化为标准型$g(y_1,y_2,...,y_n)$g(y1​,y2​,...,yn​)；

② 拉格朗日配方法：即将平方项配完全平方公式，将二元一次项配平方差公式；

③ 合同变换法：$\left[\begin{matrix}A\\E\end{matrix}\right] \Rightarrow\left[\begin{matrix} diag(λ) \\ P\end{matrix}\right]$[AE​]⇒[diag(λ)P​]

经过n次列变换，再经过相应n次行变换（称这种变换为成对初等行列变换）即可将$A$A化为$diag(λ)$diag(λ) ，生成标准型：$g(y) = y^Tdiag(λ) y$g(y)=yTdiag(λ)y，而附带变换得到的P即为其正交变换矩阵；

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• 十二、正定矩阵：

1）定义：设M是n阶实对称方阵，如果对任何非零向量z，都有$z^TMz> 0$zTMz>0，就称M为正定矩阵，其对应的二次型称为正定二次型；其他情况：若对任何非零向量z，都有$z^TMz\ge 0$zTMz≥0，则称M为半正定矩阵；若若对任何非零向量z，都有$z^TMz< 0$zTMz<0，则称M为负定矩阵；若对任何非零向量z，都有$z^TMz\le 0$zTMz≤0，则称M为半负定矩阵；类似可以定义其相应的二次型；

2）性质：

① 正定矩阵的行列式恒为正；

② 惯性定理：对于不同的正交变换$x=Py$x=Py，$x=Qz$x=Qz，标准型中正/负系数的个数保持不变，并称这个个数为二次型f的正/负惯性系数，正系数与负系数的差值叫做f的符号差；

③ 赫尔维茨定理：
A为正定<=>A的各阶(顺序)主子式为正；
A为负定<=>A的奇数阶顺序主子式为负，偶数阶(顺序)主子式为正；
A为半正定 <=> A的各阶(顺序)主子式非负；

3）正定矩阵的判定定理：

性质	充分必要性
实对称，且与单位矩阵合同	充要
逆矩阵为正定矩阵	充要
$A^n$An为正定矩阵	充要
各个正定矩阵的和矩阵	充分
A的特征值全为正	充要
A的一切主子式为正	充要
A的一切顺序主子式为正	充要
存在实可逆矩阵C，使A=C′C	充要

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• 十三、矩阵秩的相关定理：

1）$0 \le r(A_{m\times n}) \le min \{m,n\}$0≤r(Am×n​)≤min{m,n};

2）$max\{r(A),r(B)\} \le r(A|B) \le r(A) + r(B)$max{r(A),r(B)}≤r(A∣B)≤r(A)+r(B);

3）$r(A+B) \le r(A)+r(B)$r(A+B)≤r(A)+r(B);

4）西尔维斯特秩不等式：$r(A)+r(B)-n \le r(AB) \le min\{r(A),r(B)\}$r(A)+r(B)−n≤r(AB)≤min{r(A),r(B)};

5） 弗罗贝尼乌斯秩不等式：$r(ABC) \ge r(AB) + r(BC) - r(B)$r(ABC)≥r(AB)+r(BC)−r(B) ;

6）伴随矩阵的秩：$r(A^*) =\begin{cases} n ,& r(A) = n \\ 1, & r(A) = n-1 \\ 0, & r(A) \le n-2 \end{cases}$r(A∗)=⎩⎪⎨⎪⎧​n,1,0,​r(A)=nr(A)=n−1r(A)≤n−2​

7）$r(A^n) = r(A^{n+1})$r(An)=r(An+1);

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