【高级数据库】第二章 第02讲 多维索引

【高级数据库】第二章 数据库索引

  前面讲解了几种索引的数据结构，但这些索引键都是一维的。对于多维查询（例如查询同时满足两个键的记录），可以通过多次执行一维索引实现，但对于更加复杂的数据这种方法显然不可取，因此需要扩展多维索引。多维索引结构主要分为两类：
（1）类散列表：包括网格文件、分段散列；
（2）类树：包括多键索引、kd-树、四叉树、R-树。

第03讲 多维索引

1、多维数据的散列结构

  多维数据的散列结构包括网格文件和分段散列，下面介绍网格文件：

1.1 网格文件

  网格文件是一种改进单维索引的数据结构，根据查询的范围可以为每一个维度划分三个区域，形成网格状。假设有一个查询涉及到两个查找键 $X,Y$X,Y ，查询的范围为 $X\in[40,55),Y\in[90,225)$X∈[40,55),Y∈[90,225)，因此可以分别在两个维度上划分三个区域，形成九个网格，每个网格内存储的是符合 $X,Y$X,Y 所在范围内的记录，其指针指向对应的桶，假设桶中最大存储2个记录。如图所示：

左图为网格文件，一共划分9个区域，其中正中间区域即为查询的部分，右图表示每个网格对应的桶，所要查询的桶即为红色区域及对应的记录。
  （1）网格文件的查询：当要查询指定范围的记录时，根据查询键的数量建立对应维度的网格文件，其次为每个区域设计或选择合适的散列函数，将次区域映射到对应的桶地址（或桶中第一个记录的地址），然后取出桶中全部数据即可。
  （2）网格文件的插入：遵循查询方法的同时，需要向桶中插入新记录及键，如果桶未满则直接插入即可，否则需要解决溢出问题。
  一般解决溢出问题，可以设置一个溢出块，即在桶的基础上扩充新的空间；另一种则是重新划分网格线。例如插入一个数据 $(X=52,Y=200)$(X=52,Y=200)，可知其所在中间的网格，但其空间已满，此时可以添加一个水平网格线 $Y=130$Y=130 将该桶划分为两个。划分桶需要注意尽可能的减少空桶的数量（完全不产生空桶是不可能的，因此需要尽可能减少），如图：

1.2 分段散列

  分段散列通常是设计一个散列函数可以对多维数据同时进行索引。例如二维数据 $(X,Y)$(X,Y)，通常设计一个散列函数 $h(X,Y)$h(X,Y) 将两个键分别转换为二进制表示。设散列值维度为 $k$k ，对应的键分别为 $h(X),h(Y)$h(X),h(Y) 维度为 $k_X,k_Y$kX​,kY​ ，且有 $k_X+k_Y=k$kX​+kY​=k 。例如对于如下8个二维键：

其中第一个键 $X$X 我们划分0表示奇数和1表示偶数，第二个键 $Y$Y 划分模4的余数，0表示余数为0，1表示余数为1，2表示余数为2，3表示余数为3，因此可以组合为三个二进制数。例如对于 $(25,60)$(25,60) 则有 $h(25,60)=100$h(25,60)=100。所有数据的索引图如图所示：

可以发现，分段散列表可以使用链地址法存储，左侧表示数组，数组下标恰巧为二进制键值的十进制表示，数组存储指向对应桶的指针，每个结点可以是固定尺寸的存储快，也可以用链表依次相连。

2、多维数据的树结构

  除了散列结构外，树结构也可以用于多维数据的索引，包括四种树形结构：多键索引、kd-树、四叉树和R-树。前三种用于点集，R-树用于点集或区间集。

2.1 多键索引

  多键索引是指在树上对每个结点设置索引的数据结构。假设有二维键 $(X,Y)$(X,Y)，则根结点是第一个键 $X$X 的索引，其次第二层上的结点则是 $Y$Y 对应的索引。如图所示：

例如查询 $(X=50,Y=120)$(X=50,Y=120) 的记录，首先在根结点查询键为50的指针，其次根据指针索引第二层第四个树结点，在依次进行匹配。如果维数超过2维，则在基础上继续添加一层用于对第三个键添加索引。此存在一个问题是树根结点默认的为键 $X$X 设置索引，而如若首先查询 $Y$Y 的键，则只能在第二层一个个查询了。

2.2 kd-树

  kd-树是一种将二叉搜索树推广到多维数据的数据结构，其每个内结点只代表一个属性（键），左右孩子分别是对应属性（键）根据某一个值划分的两部分。如图：

这是一个二叉排序树，也非常像机器学习中的决策树，其最终的记录全部存在叶子结点上。如若插入一个新记录，首先进行查找，如果找到其所在额叶子结点对应的桶中还有空间，则插入，否则执行结点分裂，这与【B-树】一节的插入操作一样。

2.3 四叉树

  四叉树相比于kd-树来说划分的角度不同。kd-树是每个结点仅划分一个属性，而四叉树是划分多个属性的组合。例如二维键 $(X,Y)$(X,Y) ，四叉树的每个内部结点则是根据当前的值 $(X,Y)$(X,Y) 划分四个区域，按照坐标象限的顺序定义，分别为
$\text{I}:\{(x,y)|x>X,y>Y\}$I:{(x,y)∣x>X,y>Y}
$\text{II}:\{(x,y)|x\leq X,y>Y\}$II:{(x,y)∣x≤X,y>Y}
$\text{III}:\{(x,y)|x\leq X,y\leq Y\}$III:{(x,y)∣x≤X,y≤Y}
$\text{IV}:\{(x,y)|x>X,y\leq Y\}$IV:{(x,y)∣x>X,y≤Y}
最终叶子结点存储对应的桶，假设桶最大存储空间为2。
  当然如果当前结点划分后区域内已经满足小于等于2个记录，则终止划分，否则继续划分。如图所示：

这是一个四叉树的划分图，第一次划分以 $(X=50,Y=200)$(X=50,Y=200) 点对应的四个区域，其中 $I$I 和 $III$III 象限内恰巧有两个记录，则停止划分，另两个结点对应超过2个记录，因此继续划分。一个维度上的划分点取当前区间范围内的中位数。

2.4 R-树（区域树）

  R-树是可以查询指定一个区域，其每个结点表示一个区域范围，且这个结点的子结点区域是这个结点区域的子集，所有子结点的区域可重叠。例如：

  外面的实线框表示R-树中的一个内部结点，该结点存储两个坐标（左上角和右下角的坐标），其子结点包含四个（相当于四个孩子结点），每个子结点与这个结点一样存储两个坐标。因此四个孩子结点表示的区域为虚线框。叶子结点也表示一个区域，这个区域内对应的内容即为记录。
  当查询一个指定区域时，即可通过坐标大小比较方法缩小区域，直到找到指定的叶子结点。若在指定区域内插入一个记录，则首先进行查询，若叶子结点对应的桶有空余空间，则直接插入，否则需要分裂叶子结点，分裂方法与前述一样。

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上一讲：散列表
下一讲：位图索引

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