GAN的第二季开始更新了，还是熟悉的配方，还是熟悉的味道。第一季更新了12篇小文，只解读了GAN的冰山一角，第二季将作为第一季的“零零星星”的补充，讲解包括其他的损失函数、训练算法等等方面，并且会扩展到隐空间、离散数据等方向。今天将先介绍一个处理模式崩溃问题的小方法—小批量判别器，作为对上一季模式崩溃问题的补充吧。
作者&编辑 | 小米粥
1. 模式崩溃的原因
当模式崩溃发生时，生成器 G(z)往往会把很多不同的z均映射成某个x，（更确切地说，指x以及其附近的点，用A表示），接下来更新判别器D(x)后，判别器会很快发现这个病态的mode A从而降低了对这个mode A的信任程度（信任程度即该样本点来源于训练数据集的概率），而信任mode B，那么生成器就会把很多不同的z均映射成x'，其中x'及其附近的点表示一个新的mode B，如下图所示。接着，判别器发现这个新的的病态mode B.....
生成器和判别器陷入这样没有意义的循环。我们梳理一下上面的环节，首先生成器 G(z)把很多不同的z均映射成某个x，而不是将部分z映射到mode A，部分z映射到mode B，但这不应该引起担忧，因为可以训练判别器来识别这个不好的mode A再改进G(z)即可；接着，训练判别器环节也没有问题，实践中甚至担忧判别器训练得过好了而产生梯度消失；那么问题应该出在最后一步：生成器把生成样本全部都转移放置到新的mode B下！显然，生成器的改进是“过分”的，理想上生成器应该将部分生成样本都转移放置到 mode B下，保留部分生成样本在mode A下，如下图所示。
其实这并不奇怪，因为在训练生成器时，目标函数为：
其过程为：生成器G(z)生成m个样本{x1,x2,...,xi,...,xm}，然后将m个x分别独立送给判别器D(x)判定获得梯度信息。在上面的例子中，由于判别器不信任mode A而非常信任mode B，故对于任意生成样本x，判别器都将指引其接近mode B:G(z)→B，也就是说对于任意x，判别器传递给生成器G(z)得到的梯度的方向是相同的，生成器按着该梯度方向更新参数极易把所有的生成样本转移到mode B下。
2.mini-batch discriminator
根据第一节的讨论，认为原因还是出现在判别器上，因为判别器每次只能独立处理一个样本，生成器在每个样本上获得的梯度信息缺乏“统一协调”，都指向了同一个方向，而且也不存在任何机制要求生成器的输出结果彼此有较大差异。
小批量判别器给出的解决方案是：让判别器不再独立考虑一个样本，而是同时考虑一个小批量的所有样本。具体办法如下：对于一个小批量的每个样本{x1,x2,...,xi,...,xm}，将判别器的某个中间层f(xi)的结果引出，其为一n维向量，将该向量与一个可学习的n x p x q维张量T相乘，得到样本xi的p x q维的特征矩阵Mi，可视为得到了p个q维特征。
接着，计算每一个样本xi与小批量中其他样本的第r个特征的差异和：
其中，Mi,r表示矩阵Mi的第r行，并使用L1范数表示两个向量的差异。
那么每个样本都将会计算得到一个对应的向量：
最后将o(xi)也接引出的中间层的下一层L+1即可，也就是说在原来判别器L层的基础上加了一个mini-batch层，其输入是f(xi)，而输出是o(xi)，中间还包含一个可学习参数T。相比较，原始的判别器要求给出样本来源于训练数据集的概率，而小批量判别器的任务仍然是输出样本来源于训练数据集的概率，只不过它能力更强，因为它能利用批量样本中的其他样本作为附加信息。
还是在第一节的例子中，使用小批量判别器，当发生模式崩溃的生成器需要更新时，G(z)先生成一个批量的样本{G(z1),G(z2),...G(zm)}，由于这些样本都在mode A下，则计算得到的mini-batch层结果必然与训练数据集的计算得到的mini-batch层结果有很大差异，捕捉到的差异信息会使小批量判别器D(G(zi))值不会太低，小批量判别器不会简单地认为对所有样本给出相同的梯度方向。
3. 一个简化版本
在Progressive GAN中，给出了一个简化版本的小批量判别器，其思想与上述相同，只是计算方式比较简单，对于判别器的输入样本{x1,x2,...,xm}，抽取某中间层作为n维特征有{f(x1),f(x2),...,f(xm)}，计算每个维度的标准差并求均值，即：
其中
最后将o作为特征图与中间层的输出拼接到一起。Progressive GAN的小批量判别器中不含有需要学习的参数，而是直接计算批量样本的统计特征，更为简洁。
[1]Tim Salimans , et al. Improved Techniques for Training GANs. 2016.
[2]Karras, Tero, Aila, Timo, Laine, Samuli,等. Progressive Growing of GANs for Improved Quality, Stability, and Variation[J].
总结
今天首先将说明模式崩溃问题的本质，分析了产生模式崩溃的原因，并针对该问题给出了小批量判别器技巧，并在最后给出了一个更简单的版本。
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