SfM——八点法计算F矩阵（基础矩阵）与三角测量

1 八点法计算F矩阵（基础矩阵）

基础矩阵用于描述两个视图之间的几何关系

1. 基础矩阵：基础矩阵 $F$ 是描述两个视图之间相机投影关系的矩阵。对于两个对应的图像坐标点 $(x,y,1)$ 和 $(u,v,1)$​ 在两个视图上，基础矩阵满足以下方程：

   这个方程即对极约束，描述了图像中对应点的投影关系

$${\left[\begin{array}{c}u\\ v\\ 1\end{array}\right]}^T\cdot F\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=0$$

2. 线性系统：对于多对对应点，可以构建一个线性方程系统 $Af=0$ ，其中 $A$ 是由对应点生成的矩阵， $f$​ 是基础矩阵的扁平形式

   上述方程即：

$$\left[\begin{array}{ccc}u& v& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{ccc}{f}_{11}& f_{12}& f_{13}\\ f_{21}& f_{22}& f_{23}\\ f_{31}& f_{32}& f_{33}\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}x\\ y\\ 1\end{array}\right]=0$$

​ 展开得到：

$$\left[\begin{array}{ccccccccc}ux& vx& x& uy& vy& y& u& v& 1\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}{f}_{11}\\ f_{12}\\ f_{13}\\ f_{21}\\ f_{22}\\ f_{23}\\ f_{31}\\ f_{32}\\ f_{33}\end{array}\right]=0$$

​ 这个矩阵方程可以表示为 $A_{i}f=0$​

​ 为了解出这个9个未知数的 $f$ ，我们至少需要8对点，所以叠加 $A_i$ 得到 $A$ 矩阵

$$A=[\begin{array}{c}{x}_1{u}_1\\ x_2{u}_2\\ ⋮\\ x_8\end{array}$$