1. 标准正态分布

若，二维连续随机变量 $(X, Y)$ 的联合概率密度为：

f (x, y) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \cdot e^{- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} \cdot [\frac{(x - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - 2 ρ \frac{(x - μ_{1}) (y - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(y - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}]}

则，称二维连续随机变量

(X, Y)

服从参数为

μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}, σ_{2}, ρ

的二维正态分布。
记作：

(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}, σ_{2}, ρ)

那么，标准正态分布 $(X, Y) \sim N (0, 0, 1, 1, 0)$ ，即：

f (x, y) = \frac{1}{2 π} \cdot e^{- \frac{1}{2} \cdot [x^{2} + y^{2}]}

的图像为：

假设，有一个白噪声向量，

w_{k} = [\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] \sim N (0, R), R = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

那么，产生足够多的点之后，做统计，绘制出的概率图线就是上图所示。
【注】：矩阵非主对角线的元素，反应了向量中随机变量的相关性（

ρ

）。
若是对角阵，则表明各个变量之间相互独立。(对于正态分布成立，不相关==独立)

2. 3个陀螺的随机噪声构成的矢量

记零均值高斯白噪声矢量为： $w_{g}^{b}$ ；
此时，无法直接绘出3个随机变量的联合概率密度图线。（需要在四维空间里绘制，但是，直观感觉类似）

一般，我们给出陀螺随机游走的系数（认为三个陀螺有相同系数），如
$w e b = {0.001}^{\circ} / \sqrt{h}$
然后，使用 $w_{g}^{b} = w e b \cdot \sqrt{t s} \cdot r a n d n （ 3, 1 ）$ 仿真产生数据。

性质1：若 $X \sim N (0, 1)$ ，则， $σ X \sim N (0, σ^{2})$

这等价于：

w_{g}^{b} \sim N (0, R), R = [\begin{matrix} w e b^{2} \cdot t s & 0 & 0 \\ 0 & w e b^{2} \cdot t s & 0 \\ 0 & 0 & w e b^{2} \cdot t s \end{matrix}]

那么，在零均值高斯白噪声 $w_{g}^{b}$ 之前乘上一个矩阵，表明什么含义呢？
例如： $C_{ω}^{- 1} C_{b}^{n^{'}} w_{g}^{b}$

先找一个简单的二维的例子：(如前面图线绘制的)

w_{k} = [\begin{matrix} X \\ Y \end{matrix}] \sim N (0, R), R = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]

在它前面乘上一个矩阵：如

[\begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{matrix}] \cdot w_{k} = [\begin{matrix} X + Y \\ X + Y \end{matrix}] \sim N (0, R), R = [\begin{matrix} 2 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}]

【注】：此时，矢量的两个元素，不再完全独立，甚至是完全不独立！

性质2：若 $X \sim N (0, σ_{1}^{2})$ ， $Y \sim N (0, σ_{2}^{2})$ ，则， $X + Y \sim N (0, σ_{1}^{2} + σ_{2}^{2})$

同理，可以预见，当变成了3个随机变量组成的矢量；本来矢量元素间独立的关系，变成了元素间存在了耦合关系。