声明：本文是深蓝学院 高翔博士主讲的《SLAM理论与实践》的学习笔记。
运动方程中的x，可以用旋转平移（Ｒ,t）或者变换矩阵Ｔ来表示。
当相机位置姿态估计不准确时需要进行微调。 
一般使用梯度进行微调。需要求导。根据倒数的定义求导必须得有加法。例如 u是关于Ｒ的函数，对应的倒数为： 
平移量有定义好的加法。 
但是旋转矩阵没有定义好的加法：相加之后不满足 旋转矩阵的正交性和行列式为１性。 
用四元数表示矩阵也没有良好的加法：因为ｑ的行列式要等于１，相加之后不满足。 
为了解决这个问题我们引入群。
群
群（Group）是一种集合加上一种运算的代数结构。记集合为A，运算为 · ，那么当运算满足以下性质时，称 (A, · )为群。 
容易验证
- 旋转矩阵集合与矩阵乘法构成群，称为旋转矩阵群，也称作特殊正交群（Special Orthogonal Group），SO(2) SO(3)最常见。 
- 变换矩阵集合与矩阵乘法构成群，称为变换矩阵群，也称为特殊欧氏群（Special Euclidean Group），如SE(2) SE(3)。 
除此之外还有一般线性群GL(n) 指nxn的可逆矩阵，它们对矩阵乘法成群。
群结构保证了在群上的运算具有良好的性质。群论是研究群的各种结构和性质的理论，具体介绍见各抽象代数或近世代数教材。
李群与李代数
李群（Lie Group）：具有连续（光滑）性质的群。既是群也是流形。
直观上看，一个刚体能够连续地在空间中运动，故SO(3)和SE(3)都是李群。但是，SO(3)和SE(3)只有定义良好的乘法，没有加法，所以难以进行取极限、求导等操作。
既然没法直接求导，能否做一些近似或者说分析上的求导？
一个流行可以在一个点做出一个切空间。上面可以定义良好加法。可以通过切空间研究流形上的性质。 
李代数：与李群对应的一种结构，位于向量空间。通常记作小写的so(3)和se(3)。书中以哥特体突出显示。事实上是李群单位元处的正切空间
下面从旋转矩阵引出李代数:
考虑任意旋转矩阵R，满足正交性
令R随时间变化（连续运动），有
两侧对时间求导
整理得 
可以看出它是一个反对成矩阵()，记作：
两侧右乘R(t): 
可看成对R求导后，左侧多出一个 类似于： 
在单位元附近, 
可见反映了一阶导数的性质，它位于正切空间(tangent space)上.
李群是高维空间（３x3＝９维）中的低维流形(3维，因为旋转矩阵只有三个*度)，原点做一个切空间，切空间上的点都可以通过指数映射映射回流形上面，或者从流形上映射到切空间。
反对称符号说明：
李代数（Lie Algebra）
每个李群都有与之对应的李代数。李代数描述了李群单位元附近的正切空间性质。 
二元运算[,]被称为李括号（Lie Bracket） (直观上说，李括号表达了两个元素的差异。)
SO(3)对应有李代数so(3): 三维空间向量+叉积运算（作为李括号） 构成李代数
- 三维空间向量 so(3):
- 叉积运算
不同书籍对se(3)的平移/旋转分量的先后顺序定义不同。这里使用平移在前的方式，也有地方是旋转在前的。
把李代数理解成向量形式或矩阵形式都是可以的。向量形式更加自然一些。
指数映射与对数映射
SO(3)<->so(3)
指数映射（罗德里格斯公式）
指数映射反映了从李代数到李群的对应关系。 .但是是一个矩阵，如何定义矩阵的指数运算呢？
可以根据泰勒展开： 
由于 是向量，定义其角度和模长：角度乘单位向量：. 而a具有下面性质, 为化解泰勒展开中的高阶项提供了有效方法。 
刚好就是上一讲的罗德里格斯公式，说明so(3)的物理意义就是旋转向量。
对数映射
反之，给定旋转矩阵时，亦能求李代数(对数映射)。
但实际当中没必要这样求，在旋转向量小节已经介绍了旋转矩阵到向量的转换关系。
至此，说明了 SO(3) 与 so(3) 的对应关系。
SE(3)<->se(3)
说明李代数中的平移量与实际平移量差一个Ｊ
总结
求导与扰动模型
SLAM的定位即位姿估计, 需要使用导数进行微调，而导数需要加法。但李群无加法： 导数无从定义。
解决办法：利用李代数上加法定义李群元素的导数？使用指数映射和对数映射完成变换关系。
那么一个基本问题是当在李代数中做加法时，是否等价于在李群上做乘法？
在使用标量的情况下，该式明显成立。但这里的为矩阵！并不成立。完整形式由 BCH（Baker-Campbell-Hausdorff） 公式给出。部分展开式如下：
当Ａ或Ｂ其中一个量为小量时，忽略其高阶项，BCH具有线性近似形式 
说明李群上做乘法对应的李代数上要做一个带Ｊ的加法。
- 在李群上左乘小量时，李代数上的加法相差左雅可比的逆
李代数上进行小量加法时，相当于李群上左（右）乘一个带左（右）雅可比的量
SE(3)比SO(3)更复杂：
考虑一个基本问题：旋转后的点关于旋转的导数。不严谨地记为：
由于R没有加法，导数无从定义．
通过BCH线性近似 存在两种解决办法可以定义李代数上的导数:
对 R 对应的李代数加上小量，求相对于小量的变化率（导数模型）；
对 R 左乘或右乘一个小量，求相对于小量的李代数的变化率（扰动模型）。
SE(3)上的扰动模型：
