平滑技术之简单移动平均和季节调整及Eviews实现

时间序列构成因素的组合模型

乘法模型: Y = T · S · C · I
加法模型: Y = T + S + C + I
T：长期趋势
S：季节变动
C：循环变动
I：不规则变动
乘法模型假定四个成分对现象发展的影响是相互的。长期趋势成分取与时间序列原始指标值Y相同计量单位的绝对量，以长期趋势为基础，其余成分均以比率表示。
加法模型假定四个因素的影响是独立的，每个成分均以时间序列原始指标数值Y相同计量单位的绝对量来表示。

若时间序列模型中包含了所有四个成分，称为时间序列的完备模型；但并非在每个时间序列中都同时存在这四个成分。

一般来说，长期趋势经常存在，季节变动因素和循环变动因素则不一定存在。当季节变动因素/循环变动因素不存在时，在乘法模型中S或C取值为1，在加法模型中S或C取值为0。

时间序列分析目的：对各种构成因素进行统计测定和分析，揭示其变动的规律和特征。

1 简单移动平均法

1.1 基本原理

一定程度上消除/削弱时间序列中的不规则变动和
其他变动，修匀原序列，揭示出时间序列的长期趋势

1.2 移动平均方式

选择适合的用于平均的时距项数N，采用对序列逐
项递移的方式，对原序列递移N项，计算一系列序时
平均数。

1.3 移动平均法特点

1. 对原序列有修匀或平滑作用。时距项数N越大，对 数列的修匀作用越强。
2. 时距项数N为偶数时，需移正平均(中心化移动平均)
3. 项数N与季节变动长度一致才能消除季节变动；
   项数N和周期一致才能消除周期波动。
4. 移动平均会使原序列失去部分信息，平均项数越大，失去的信息越多，如序列的波动性。
5. 移动平均值是对现象发展趋势的（一期外推）预测值。

2 季节调整

季节调整的基本思路是将季节变动S（季节因子，又称季节指数）从序列中剔除。以乘法模型为例：

首先，我们剔除长期趋势和循环变动的结合项 T· C，我们用移动平均 $\widetilde{y_{t}}$yt​​ 作为 T· C的估计值，因为我们大致可认为 $\widetilde{y_{t}}$yt​​ 已无季节和不规则波动。这里的 $\widetilde{y_{t}}$yt​​ 是中心化的移动平均，即：

这里，因为月度和季度都是属于偶数项，所以使用了中心化的移动平均，具体上式推到过程如下，以季度数据为例：

然后，我们用原序列除以 T· C 的估计值 $\widetilde{y_{t}}$yt​​ 就得到季节和不规则变动的结合项 S · I 的一个估计：

$\frac{T*S*C*I}{T*C}=S*I=\frac{y_{t}}{\widetilde{y_{t}}}=z_{t}$T∗CT∗S∗C∗I​=S∗I=yt​​yt​​=zt​ （2.1）

下一步，尽可能从 $z_{t}$zt​ 中彻底消除 I，得到季节因子S。由于对同一月份或季度的季节和不规则变动的结合项进行平均将大体上消除不规则变动，于是我们对 S*I 同一月份的数据进行平均，得到平均值 $\widetilde{z_{j}}$zj​​，就可以作为季节指数的估计值。这里，我们将季节因子标准化，方法可以是：

$S_{j}=\widetilde{z_{j}}/\sqrt[k]{\widetilde{z_{1}}*\widetilde{z_{2}}...*\widetilde{z_{k}}}$Sj​=zj​​/kz1​​∗z2​​...∗zk​​​ （2.2）

$S_{j}$Sj​ 称为标准化的季节因子，对于季度数据 j = 1，2，3，4， k = 4；调整后的季节因子的乘积等于1。

最后，我们来消除季节变动。从每个原始序列数值中除以对应的季节因子 $S_{j}$Sj​ ，消除季节变动成分后，剩下其他三部分。
季节调整后的序列即：

$y^{\alpha }=\frac{y_{t}}{S_{j}}$yα=Sj​yt​​ （2.3）

对于加法模型，只要做一些对应的变化即可。将（2.1）中的除法变成减法，即 $y_{t}-\widetilde{y_{t}}=z_{t}$yt​−yt​​=zt​；将（2.2）变为 $S_{j}=\widetilde{z_{j}}-\frac{1}{k}\sum_{k=1}^{i}\widetilde{z_{i}}$Sj​=zj​​−k1​∑k=1i​zi​​ ，使得调整后季节因子的和等于1；将（2.3）中的除法变成减法，即 $y^{\alpha }=y_{t}-S_{j}$yα=yt​−Sj​。

3 Eviews实现

3.1 数据

Eviews操作：

1. 创建时间序列
   file - new file - workfile - monthly - start date: 2000:01 end date: 2007:12。在新创建的workfile里，选择object - new object- type of object：series - m0 - OK。
2. 导入数据
   双击建立的 m0 文件，导入要分析的数据即可。

3.2 对 $M_{0}$M0​ 对数序列进行平滑，并对对数序列做3期和7期简单移动平均进行比较。

3. m0 折线图
   打开 m0 数据集，view - graph - ok
   
   从上图看到，m0（财政存款余额序列）有明显的上升趋势，并有明显的波动和季节因素，同时波动幅度随着时间的增加而变大。

4. ln(m0) 折线图
   genr lnm0 = log(m0) or 在主选单quick - generat series - lnm0 = log(m0)
   
   从上图看到，lnm0（财政存款余额序列对数）有明显的线性趋势，并有明显的波动和季节因素，但波动幅度随时间的变化改变不大，这主要归功于对数变换。

5. 对lnm0建立3期和7期简单移动平均序列
   genr lnm0_3 = (lnm0 + lnm0(-1) + lnm0(-2) ) / 3
   genr lnm0_7 = (lnm0 + lnm0(-1) + lnm0(-2) + lnm0(-3) + lnm0(-4) + lnm0(-5) + lnm0(-6) ) / 7

6. 将lnm0_3、lnm0_7 以组打开，绘制折线图。
   
   
   从上图看到，3期、7期简单移动平均都对原对数序列作了平滑，7期简单移动平均的平滑程度更高，证明了简单移动平均的期数越多越平滑。同时，简单移动平均消除了一定的波动，甚至消除了一些季节变动影响，这使得我们对序列的长期趋势判断更加平滑。但是，简单移动平均明显有滞后的现象。

7. 季节调整
   通过对lnm0的分析，我们看到了明显的季节变化。由于使用了对数变换，L、S、C的关系接近于相互独立，所以我们选择加法模型进行季节调整。
   打开lnm0序列，选择procs - seasonal adjustment - moving average methods - addictive 及 命名factors 为sf，具体见下图。
   
   上图为lnm0序列季节调整结果
   
   上图为季节因子值
   
   季节因子sf序列如上图，它是一个以12为周期的循环序列，相同月份的值相同。
   
   上图为lnm0及其季节调整后序列图，可以看到调整后的序列已经明显没有季节波动成分，同时更加体现出线性趋势。