作者：White Pillow
链接：https://www.zhihu.com/question/23720923/answer/32739132
来源：知乎
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Dan Fleisch是《A Student’s Guide to Vectors and Tensors》的作者，他发现很大一部分读者都有一个疑问：到底张量是TMD什么东西? (What’s a tensor? ）
于是乎就做了这个视频，用12分钟来告诉你张量是什么。
想要了解张量（Tensor），首先需要对向量（Vector）有一个清晰的了解。
在我们的课本中，向量通常都是这样一个箭头……用来表示一个既有幅度（magnitude）又有方向（direction）的物理量，比如重力、磁力或者一个粒子的速度。这个箭头的长度表示幅度，箭头的指向表示方向。
此外，向量还可以用来表示一个平面，表示方法就是让向量代表垂直于这个平面的方向（法线方向）。
这么看来，向量可以表示很多东西：表示力、速度甚至平面，不过仔细想想向量也只表示了幅度（magnitude）与方向（direction）两个要素而已。
还有很多物理量用向量是没法表示的（后面会提到），向量其实是一个更广泛的表示方法的特例。对的，你猜对了，这个更广泛的方法就是张量（Tensor）。
为了更好的解释张量是什么，有两个概念需要先搞清楚： 分量 (Components) 与基向量 (Basis Vectors）。
为了搞清楚这个两个概念，我们要引入坐标系……
这里我们引入的是最常见的笛卡尔坐标系（Cartesian coordinate system）
说道坐标系，就一定要想到坐标系的基向量（coordinate basis vector）也称作unit vector，我们用这个小箭头来表示基向量。
基向量的长度是”1”，是你用来描述长度的基础单位。
基向量的方向是你的坐标系的坐标的方向。
在这个坐标系中，在x,y,z轴方向分别有三个基向量。
现在我们有了坐标系（coordinate system）与基向量（basis vector），接下来可以确定分量（components）了。
在这个例子中，那个大箭头向量由4个x基向量，3个y基向量与0个z基向量构成。
所以我们可以用4个x，3个y，0个z来表示那个大箭头向量。
大箭头可以拿走了，现在只需要3个数字（方块，注意方块上写着数字）与3个基向量（小箭头），我们就可以完全还原出大箭头的信息了。
如果大家默认使用同一套基向量，那么基向量（小箭头）都不需要了，我们只需要4,3,0这三个数字（方块）就可以表示那个向量。
这三个数字（方块）就是向量的分量（components）。
此时，想要表示一个向量，只要给定这三个分量即可，它们怎么排列都可以，你也可以把他们立起来。
如果加上两个括号，这就是我们在书上经常看到的向量的列表示……（笑cry了有木有）
总结一下，刚才那个桌子上的大箭头可以用这3个分量（components）与3个基向量（basis vector）表示。
（插一句：请原谅到此为止都讲的内容都是高中知识……因为很有爱啊~下面即将进入正题）
推广一下，对于一个向量A来说，我们用Ax, Ay, Az来表示这三个分量，分别对应向量A在x,y,z基向量方向上的分量。
注意每个分量只有一个下标，因为每个分量只由一个基向量构成（one basis vector per component），所以向量也称为1阶张量（Tensors of rank 1）。
相应的，标量（scalar）也称为0阶张量（Tensors of rank 0），因为标量没有方向，因此也就不存在基向量，可以说标量的每个分量是由0个基向量构成的。
下面来看更高阶的张量。
这是一个在3维空间中的2阶张量。
回顾一下，向量有3个基向量与3个分量。
而现在这里有9个基向量（那些小箭头）与9个分量（那些方块）。
注意现在每个分量有两个下标（例：Axy），而不是之前的一个了。
为什么要用两个下标呢？考虑这个例子：固体物体中某点的受力情况。
想象在该物体里有一个平面，这个平面的朝向需要用一个向量来表示，为了表示该向量需要引入1组（3个）基向量；
在每个平面上又有一个力，这个力则需要用第二个向量来表示，这样对于第一组中每个基向量又引入了第2组（3个）基向量与之组合。
于是就有了桌子上的那3*3个基向量组合。
如果想要表示所有的平面与平面上的力的组合，需要9个分量，每个分量有2个下标（index）来表示该分量由哪两个基向量组合构成。
例：Axx表示在法线为x方向的平面上的方向为x方向的力。
这9个分量与9个基向量共同组成了2阶张量。
继续进一步，这是一个3维空间中的3阶张量。
这个张量有27个基向量与27个分量。
现在每个分量有3个下标，所有的下标组合共有3*3*3=27个，故共有27组基向量（见桌子上那3堆箭头方阵），不同基向量对应一个分量（那堆方块）。
现在可以做一个总结了，什么是张量以及为什么张量这么有用呢？
张量是一种表示物理量的方式，这个方式就是用基向量与分量组合表示物理量（Combination of basis vector and component）。
由于基向量可以有丰富的组合，张量可以表示非常丰富的物理量。
此外，张量所描述的物理量是不随观察者或者说参考系而变化的，当参考系变化时（其实就是基向量变化），其分量也会相应变化，最后结果就是基向量与分量的组合（也就是张量）保持不变。
考虑到张量有如此强大的表示能力，又不随观察者不同而变化，能够有效的表示宇宙间的万物，Lillian R. Lieber给了张量一个形象的称呼the fact of the universe.