经典光谱仪设计理论

1.介绍

介绍经典光谱仪的几何光学参数的快速简单计算步骤，这些计算步骤同样可以应用于其他光谱仪的设计中。
设计的光谱仪结构如下：
经典光谱仪设计理论
设计中使用的部件有：
135mm焦距f/2.8远摄镜头（作为准直镜）；
50mm单反相机镜头，f/2或者速度更快的镜头（作为聚焦镜）；
30mm的反射光栅，600lpm（Edmund Ref. NT46-075）。
光谱仪的光学结构如下：

2. 设计步骤

假设望远镜主镜孔径D=200mm，焦距f=1200mm，那么孔径比F#=6。
其他光学部件的参数做如下假设：
准直镜：焦距 f1=135mm，孔径比 Fc=2.8
相机聚焦镜：焦距 f2=50mm，孔径比 Fo=1.4
光栅：刻线数 m=600/mm，尺寸 H=30mm

步骤一，检查准直镜是否产生渐晕

在系统中，准直镜将来自远摄镜头的光进行准直，如果准直镜孔径太小，就会产生渐晕。
准直镜不产生渐晕的条件为：
Fc<F#
设计中采用的部件中，Fc=2.8<F#=6，因此准直镜不会引起渐晕。

步骤二，计算孔径d1

d1为准直镜出射光束的直径，由下式计算
$d1=D*\frac{ f1}{f}$
设计中，d1=200*135/1200=22.5mm

步骤三，计算光栅入射角和衍射角

在可见光波段进行设计时，一般设计中将 $\lambda_{0} =550nm$ 波长的光聚焦于探测器的中心，即参考波长（关键波长）为550nm，550nm对应于可见波段的中心-绿色。
参考波长在光栅上的入射光线与衍射光线之间的夹角 $\gamma$ 由下式计算：
$\gamma=\alpha-\beta$
然而，由于准直镜和其他部件的物理尺寸，以及最小化 $\gamma$ 的需求，选择 $\gamma= 38^{。}$ 。这一角度是设计固有的，不能显著增大。
入射角 $\alpha$ 由下式计算：
$sin \alpha+sin(\alpha-\gamma)=k \cdot m \cdot \lambda_{0}$
其中，k为光栅级次数，取值为 $\cdot \cdot \cdot,-2,-1,0,1,2,\cdot \cdot \cdot$ ，在标准光谱仪中，推荐采用第1级次（ $k=\pm 1$ ）。工作于第0级次 $k=0$ 时，光栅没有色散效果，等效于反射镜，系统等效为普通相机，光谱仪的效果仅仅是光学放大，放大倍数为 $\frac{f2}{f1}$ ，这一比值一般小于1，即光谱仪实际上等效于缩小焦距的透镜。因此，通过旋转光栅，可以将光谱仪从光谱模式转变为成像模式，这对于识别待记录光谱物体是十分有用的。
根据三角函数和差化积有：
$sin (\alpha-\frac{\gamma}{2})=\frac{\pm m \cdot \lambda_{0} }{2 \cdot cos(\frac{\gamma}{2})}$
根据上式，带入设计中的实际值，有：
$sin (\alpha-\frac{\gamma}{2})=\frac{\pm 600 \cdot 550 \cdot 10^{-9} }{2 \cdot cos(\frac{38^。}{2})}=\pm 0.17451$
$\alpha-\frac{38^。}{2}=\pm 10.05^{。}$
因此，入射角的取值可以是 $29.05^。和8.95^{。}$ ，分别对应着正负1级次。
根据 $\gamma=\alpha-\beta$ 可以计算出衍射角 $\beta$ 为 $-8.95^。和-29.05^{。}$ 。
目前选取 $\alpha=29.05^。；\beta=-8.95^。$ (在步骤九中可以对这一组取值是否恰当做出评判) 。
说明：角度中的正符号表示入射光线和衍射光线位于光栅法线的两侧。

步骤四，计算光栅的最小尺寸

$L=\frac{d1}{cos\alpha}=\frac{f1}{F\# \cdot cos\alpha}$
代入设计中的参数，
KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '}' at position 41: …}=25.7mm<H=30mm}̲,因此光栅尺寸有2mm的裕量，不会造成光能损失，但在安装过程中仍要格外注意。

步骤五，计算探测器上的色散度

用 $\rho$ 表示探测器上的色散度，单位nm/pixel。
对于像元尺寸 $p=9\mu m$ 的探测器，其感光面处的色散度为：
$\rho=10^6 \cdot \frac{\rho \cdot cos\beta}{m \cdot f2} nm/pixel$
代入设计中参数，有：
$\rho=10^6 \cdot \frac{0.009 \cdot cos8.95^。}{600 \cdot 50}=0.296 nm/pixel$

步骤六，计算孔径d2

d2为光栅衍射光束的直径：
$d2=\frac{cos\beta}{cos\alpha} \cdot \frac{f1}{F\#}+\frac{X \cdot \rho \cdot N}{f2}$
其中，X为光栅到相机成像镜前表面的距离，N为探测器在色散方向上的像元数量。由于机械限制，X取值为60mm。假设探测器为柯达KAF-0400，N=768，这种情况下，
$d2=\frac{cos8.95^。}{cos29.05^。} \cdot \frac{135}{6}+\frac{60 \cdot 0.009 \cdot 768}{50}=33.7mm$
探测器处无渐晕的充分条件为 $Fo<f2/d2$ 。
在设计中， $Fo=1.4<f2/d2=50/33.7=1.48$ ，虽然满足无渐晕条件，但是裕量较小。50mm成像镜需要工作在最大孔径，这对于图像质量和光谱分辨率是不利的，后面的步骤中提出了改善。
需要强调的是光栅到成像镜头的距离X需要尽可能的小，目的是消除渐晕和减小光学畸变，但是同时应避免遮挡准直镜的出射光束，因此X值需要在设计中进行折中。
说明： $r=\frac{cos\alpha}{cos\beta}$ 被称为光谱仪的失真因子（anamorphic fractor）。

步骤七，计算光谱覆盖范围

探测器两端像元的波长为
$\lambda_{1,2}= \lambda 0 \pm \frac{p \cdot N \cdot \rho}{2}$
代入参数计算得 $\lambda_{1}= 436.3 nm$ ， $\lambda_{2}= 663.7 nm$ 。
可见，所设计的光谱仪覆盖了整个可见光波段。如果需要对紫外或者红外波段进行测量，那么需要旋转光栅
，所以结构设计方案中需要具备精密转动光栅的能力。

计算光谱分辨力

光谱分辨力R定义为：
$R=\frac{\lambda}{\Delta \lambda}$
其中， $\Delta \lambda$ 为最小的光谱可分辨单元。R越大，分辨光谱细节的能力越强。当前设计中的光谱仪R大约为1000，具有中等分辨能力。
光栅光谱仪的分辨能力可以利用下式计算：
$R=\frac{r \cdot f2}{FWHM_t} \cdot (tan\alpha+\frac{sin\beta}{cos\alpha})$
其中 $r$ 为失真因子， $FWHM_t$ 为单色点目标在探测器色散方向上的半高宽。如果点目标的直径大于狭缝宽度，那么 $FWHM_t$ 为狭缝宽度在探测器上的投影宽度（更准确地名称为狭缝的LSF（line spread function））。
如果光谱仪中不存在狭缝（被称为视角受限，天文学应用中观测恒星，常遇到这种情况，光谱分辨率由星体的角大小决定）， $FWHM_t$ 由下式计算：
$FWHM_t^2=(\frac{r \cdot f2}{f1})^2 \cdot (\varphi^2 \cdot f^2+FWHM_c^2)+FWHM_o^2+FWHM_d^2+p^2$
其中：
$\varphi$ 为天文宁视度，单位：弧度，
$FWHM_c$ 为点源经过准直镜所成像的半高宽，单位：mm，
$FWHM_o$ 为点源经过相机成像镜所成像的半高宽，单位：mm，
$FWHM_d$ 为光栅衍射受限psf的半高宽，单位：mm，
$p$ 为像元尺寸。
说明：FWHM在系统测试中常利用像元数表示，结合像元尺寸，可以方便地换算为以mm为单位的量。
$FWHM_d$ 由下式计算：
$FWHM_d=\lambda \cdot \frac{f2}{d2}$
本设计中 $FWHM_d=1\mu m$ ,非常小，近似为0。
如果观测目标受限于狭缝（狭缝受限，观测目标大于狭缝）， $FWHM_t$ 由下式计算：
$FWHM_t^2=(\frac{r \cdot f2}{f1})^2 \cdot (\omega^2+FWHM_c^2)+FWHM_o^2+p^2$
其中 $\omega$ 为望远镜焦面处的狭缝宽度。
如果 $FWHM_t<+2 \cdot p$ ，根据奈奎斯特理论称为光谱“欠采样”，这种情况下光谱仪最终的光谱分辨率由探测器像元尺寸决定，即 $FWHM_t=2 \cdot p$ 。
带入设计中部件的参数，有：
$FWHM_c=10 \mu m$ , $FWHM_o=15 \mu m$ 。
说明：与准直镜相比，相机成像镜工作在大孔径（孔径比小），导致 $FWHM_c$ 和 $FWHM_o$ 的值相差很大。
柯达KAF-0400 CCD探测器的像元尺寸为 $9 \mu m$ ，假设大气的宁视度为4角秒，这一视度非常差，但是对于天文爱好者对天空进行长曝光观测时常常遇到，它也涵盖了望远镜导向误差和弯曲，以弧度为单位， $\varphi=2 \times 10^{-5} rd$ 。
结合 $f=1200mm, f1=135mm, f2=50mm, r=0.885$ ，计算得：
$FWHM_t^2=(\frac{0.885 \cdot 50}{135})^2 \cdot (（2 \cdot 10^{-5} \cdot 1200）^2+0.010^2)+0.015^2+0.009^2 \simeq 0.0195^2$
所以550nm参考波长处，星体在探测器色散方向上的尺寸为 $19.5 \mu m$ ，大约为两个像素。这一值是较好的，因为最小的分辨细节至少需要分布在两个探测单元上才能被识别。
根据上面的计算结果可以计算光谱分辨力R：
$R=\frac{0.885 \cdot 50}{0.0195} \cdot (tan(29.05°)+\frac{sin(-8.95°)}{29.05°} \simeq 860)$ 。

分辨力理论期望值为1000，860与其差距不是很大。准直镜焦距的减小能够降低光谱仪的体积和重量，但是会造成光谱仪光谱分辨能力的下降。如果采用的准直镜的焦距f1与相机成像镜的焦距f2相同，均为50mm，那么R会降低到625。简言之，为了获取足够高的光谱分辨力，f1/f2应足够大（ $\geq2$ ）。
对于无狭缝光谱仪，获取高分辨力的关键是使用焦距相对短的望远镜。如果f=500mm，在4角秒的宁视度条件下，能够使用f1=50mm的准直镜，而不会造成光谱分辨能力的明显下降。现代复消色差折射镜的孔径比一般在F#8左右。
例如，Takahashi fluorite refractor的孔径为D=128mm，焦距f=1040mm。F#8，光谱仪的光学部件均工作在非极限孔径下，这样像差会更小。在F#8下使用Nikon/Olympus/Canon高品质镜头：
$FWHM_c=8 \mu m=0.008 mm$ (Nikkor 135mm f/2.8)。
$FWHM_o=12 \mu m=0.012 mm$ (Nikkor 50mm f/1.4)。
此外，使用128mm的准直镜，天文视角接近于3角秒。使用这些参数计算可得 $FWHM_t=16 \mu m$ ，小于2个探测单元尺寸，在这种欠采样条件下，取 $FWHM_t=2 \times p=2 \times 9=18 \mu m$ 。能够达到的分辨力为920（在使用柯达KAF-0400 CCD的情况下，这是能够达到的最大分辨力）。弱欠采样工作方式具有优点：对于宽狭缝光谱仪，观测线型受大气宁视度变化（大气湍流造成百分之几十的变化）影响较小，这对于天文数据的分析和解释是重要的。在恒星光谱仪中避免使用宽度低于10 $\mu m$ 的狭缝，以保证效率。（在小型望远镜上使用宽狭缝的缺点是光谱标定更加困难，因为光谱特征峰更加模糊。）

步骤九，选择失真因子（anamorphic factor）

在步骤三中，选择的入射角和衍射角为：
$\alpha=29.05°，\beta=-8.95°$ 。
这一组合在选择时，没有给出选择的准则。
利用另外一组合参数 $\alpha=8.95°，\beta=-29.5°$ 。，可以计算：
$r=\frac{cos\alpha}{cos\beta}=\frac{cos8.95°}{cos(-29.05°) }\simeq1330$
相应地， $FWHM_t=20.60 \mu m, R=920$ 。
探测器上恒星像的半高宽增加了，因此分辨能力下降了。但是失真因子 $r>1$ 使得光谱色散度变大。利用步骤五的公式计算：
$\rho=10^6 \cdot \frac{0.009 \cdot cos 29.05°}{600 \cdot 50}=0.262 nm/pixel$
与0.296 nm/pixel相比，色散度提高了。色散度的提高可以用于补偿狭缝像变宽。如果以增大光谱分辨力为目的，应当采用 $\alpha=8.95°，\beta=-29.5°$ 。
需要强调的是，采用 $\alpha=8.95°，\beta=-29.5°$ 利用步骤六中的公式计算得 $d2=28.2 mm$ ，这比之前的33.7mm要小。光栅的衍射光束更窄，相机的孔径可以更小，镜头的相差更容易控制，这是 $\alpha=8.95°，\beta=-29.5°$ 这组设置带来的另一个优势。

步骤十，提高分辨力的方法

前面的步骤中，分辨力的主要限制因素为探测单元的尺寸。
在不变更光谱仪的其他配置条件下，最简便的提高方法是增加光栅的刻线密度。使用1200lpm的光栅可以将光谱分辨力增强1倍。
不改变光谱仪的拓扑，将总角度变更为38°，计算可得 $\alpha=1.43°，\beta=39.43°$ ，利用前面的步骤，计算得d2=25.7mm，要求相机成像镜工作在f/1.9，以便面渐晕，光谱色散度为0.006nm/pixel，光谱分辨力为1990。需要注意的是使用1200lpm的光栅光的探测灵敏度相比于600lpm下降了1倍。需要根据观测目标决定选用的光栅刻线密度。

步骤十一，一些变化

下图给出了上面原设计的仪中变形，能够获得相近的图像质量，但是准直镜由远摄镜头变更为简单的复消色差双合透镜。这种设计更加紧凑。X仍然为60mm，但是光栅更加靠近准直镜的前表面（由于准直镜的体积变小）。Edmund的双胶合透镜E32-327的焦距为100mm，孔径为25mm。对于轴上或者近轴光束，双胶合透镜可以提供媲美远摄镜头的像质。
经典光谱仪设计理论
下图给出了光谱仪工作在宽场模式下的结构图，同时观测多个恒星时常采用无狭缝配置。光谱仪可以对望远镜焦平面上 $\pm3mm$ 的视场不产生渐晕。

将准直镜移向光栅，可以扩大望远镜出瞳被相机成像镜入瞳接收的面积，换言之，如果在相机成像镜头前放置一个接收屏，可以清楚的看见望远镜主镜的轮廓。为了实现这种“出瞳/入瞳”成像（瞳面匹配），应当满足以下条件：
$X^{'}+X=f1$
其中，
$X^{'}$ 表示光栅与准直镜前表面的距离；
$X$ 表示光栅与相机成像镜前表面的距离。
设计中 $X^{'}=50mm，X=60mm，f1=100mm$ ，与上述要求接近（10mm的差距），足以将望远镜的出瞳成像在相机镜头的前表面。
下图为光谱仪的3D光线追迹图，可以看出入射狭缝的方向以及探测器表面上的光谱分布。
经典光谱仪设计理论
下面三幅图给出了光谱仪绿光、蓝光和红光的散点图。

在可见光波段，像的半高宽介于 $15-20\mu m$ 之间。对于 $9\mu m$ 像元尺寸，这些值是可以接手的，对于最佳采样（奈奎斯特采样），像的半高宽应当占据2个像元。在正常的观测条件下，光谱分辨力没有明显下降。

步骤十二，测试

光谱仪装调中的最重要的调整是确保准直镜将入射狭缝成像于无穷远处，换言之，光栅的入射光应当是平行光。使用高品质的finder-scope，聚焦于无穷远，安装在准直镜前面，调整准直镜的聚焦环，直到狭缝的像清晰，见下图：
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入射狭缝是光谱仪中的重要部件。入射狭缝的主要功能有：
A.将观测目标与其环境隔离（这一功能对狭缝的要求较低，mm级别的狭缝即可满足要求）；
B.降低天空背景辐射以提高光谱的对比度（宽狭缝即可满足要求）；
C.限制观测区域以满足光谱分辨力的要求（步骤八）；
D.光谱仪可以进行调整以适应不同亮度的观测条件，避免发生探测器饱和。
下图中功能D是通过使用可调宽度狭缝实现的。
经典光谱仪设计理论
光谱仪的初始调节在柔和的日光条件下进行，下图中光谱仪安装在120mm refractor（F/D=8.5）。

观测目标是日光或者灯光照亮的白纸。

下图给出了采用1200lpm光栅（Egmund Ref. E47-077）的光谱仪实例。狭缝宽度在十几微米。窄狭缝的宽度对于光谱仪的分辨力影响较小，仪器实际的分辨力主要由其他部件配置决定。测试中采用的refractor对于分辨力没有影响，因为其作用仅仅为从目标收集光能。使用望远镜时，必须确保进入光谱仪的光束直径是已知可控的。测试中，F#=8.5。测试环境应当与观测环境尽可能地相近，以有效地评估系统的性能。
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下图给出了Osram lamp的光谱，

下图给出了经过白板漫反射的太阳光光谱，利用夫琅禾夫线（Fraunhofer lines）可以对仪器的性能参数进行监视。

从图中可以识别出，倾斜（transversalium），smile，焦色差等。倾斜主要来自于光栅刻线与探测器轴不平行（垂直）所致，谱线弯曲smile是光谱仪中常见的像差，焦色差常出现在宽谱段覆盖范围光谱仪中。