一、关系数据库模型
关系模型是一种基于表的数据模型，以下为关系学生信息，该表有很多不足之处，本文研究内容就是如何改进它：
下面是一些重要术语：
1.属性（attribute）：列的名字，上图有学号、姓名、班级、兴趣爱好、班主任、课程、授课主任、分数。
2.依赖（relation）：列属性间存在的某种联系。
3.元组（tuple）：每一个行，如第二行 （1301，小明，13班，篮球，王老师，英语，赵英，70） 就是一个元组
4.表（table）：由多个属性，以及众多元组所表示的各个实例组成。
5.模式（schema）：这里我们指逻辑结构，如 学生信息（学号，姓名，班级，兴趣爱好，班主任，课程，授课主任，分数） 的笼统表述。
6.域（domain）：数据类型，如string、integer等，上图中每一个属性都有它的数据类型（即域）。
7.键（key）：由关系的一个或多个属性组成，任意两个键相同的元组，所有属性都相同。需要保证表示键的属性最少。一个关系可以存在好几种键，工程中一般从这些候选键中选出一个作为主键（primary key）。
8.候选键（prime attribute）：由关系的一个或多个属性组成，候选键都具备键的特征，都有资格成为主键。
9.超键（super key）：包含键的属性集合，无需保证属性集的最小化。每个键也是超键。可以认为是键的超集。
10.外键（foreign key）：如果某一个关系A中的一个（组）属性是另一个关系B的键，则该（组）属性在A中称为外键。
11.主属性（prime attribute）：所有候选键所包含的属性都是主属性。
12.投影（projection）：选取特定的列，如将关系学生信息投影为学号、姓名即得到上表中仅包含学号、姓名的列
13.选择（selection）：按照一定条件选取特定元组，如选择上表中分数>80的元组。
14.笛卡儿积（交叉连接Cross join）：如下图，第一个关系每一行分别与第二个关系的每一行组合。
X
=
15.自然连接（natural join）：如下图，第一个关系中每一行与第二个关系的每一行进行匹配，如果得到有交叉部分则合并，若无交叉部分则舍弃。
⋈
=
16.θ连接（theta join）：即加上约束条件的笛卡儿积，先得到笛卡儿积，然后根据约束条件删除不满足的元组。
17.外连接（outer join）：执行自然连接后，将舍弃的部分也加入，并且匹配失败处的属性用NULL代替。
外连接=
18.除法运算（division）：关系R除以关系S的结果为T，则T包含所有在R但不在S中的属性，且T的元组与S的元组的所有组合在R中。下例足以说明，为了得到所有选了数学、英语并且是二年级的学生，我们用到除法运算。
除以
=
二、函数依赖
1.函数依赖（functional dependency，FD）定义：
在一个关系中，任意元组，若属性A1,A2....An一样，则属性B1,B2...Bm必一样，那么称A1,A2...An函数决定B1,B2...Bm。
记号为 A1,A2...An → B1,B2...Bm （Ai与Bi有函数依赖）
上图中，若 学号 相同，则 姓名、班级、班主任 也必然相同，用这个道理我们可以粗略得出如下函数依赖：
学号 → 姓名，班级 （每一个学号对应一个姓名和班级，但由于可能重名，一个姓名不一定只对应一个学号）
班级 → 班主任 （一个班级对应一个班主任，但我们不排除一个老师任两个班的班主任，即一个班主任可能对应多个班级）
学号，课程 → 分数 （一个学号一个课程对应一个唯一的分数）
课程 → 授课主任 （一个课程对应一个授课主任）
授课主任 → 课程 （一个授课主任只能负责一门课程）
2.Armstrong aximos规则：
传递律（Transitivity）：R（A，B，C） 其中R为关系，ABC均为属性。若A → B 和 B → C 则 A → C 。
增长律（Augmentation）：如果 A → B，则AC → BC，延长函数依赖不变。
自反律（Reflexivity）：如果 属性集合B 属于 属性集合A，那么 A → B，这个又称为平凡函数依赖（见3）。
3.平凡函数依赖：
这里的平凡（trivial）又有无价值、琐碎的意思，理解上就是说了等于白说。
如 学号，姓名 → 学号 就是一个平凡函数依赖，因为右边的属于左边的，属于无价值信息。
4.分解/结合规则：
A1,A2...An → B1,B2...Bm 等效于 A1,A2...An → B1 ; A1,A2...An → B2 ; ..... A1,A2...An → Bm 。右边是可以拆开、合并的。
5.属性的闭包（closure）：
用一个例子来说明
已知关系的所有属性集合{A,B,C,D,E,F}。
已知函数依赖 AB → C ， BC → AD ， D → E ， CF → B 。
求{A,B}的闭包 （我们用 {A,B}+ 来表示）。
解：
<1>——分解函数依赖，使右边只有一个属性。 AB → C ; BC → A ; BC → D ; D → E ; CF → B 。
<2>——用{A,B}集合与这些函数依赖推导出新的属性加入集合，直到这个集合不再增长，此时该集合就是{A,B}+（闭包）。
容易发现 {A,B}+ = {A,B,C,D,E}。
实际上，求集合C的闭包C+，就是由全部函数依赖以及C，推导出所有能够推导的属性集合 与 C的 并集。
闭包算法能找到所有正确的函数依赖————反过来，已知 {A,B}，{A,B}+，我们就能列出所有能用{A,B}推导出的函数依赖。
6.判定、计算键：
（1）运用闭包算法判断是否够是键：
要验证{A1,A2...An}是否是关系的键，可以先检查“{A1,A2...An}+是否包含了关系的全部属性”，再检查“不存在从{A1,A2...An}中移出一个属性后的集合C，使得C+包含关系的全部属性”。
（2）图解计算键：
用一个例子来说明
已知 {A,B,C,D,E} : AB → C ， B → D ， C → E ， CE → B
<1>——根据依赖关系画出关系图，入度为0的必在键中，出度为0的必不在键中，如下图
现在可知，键中必有A，必无D。
<2>——将入度或出度为0结点删去，化简依赖图，如下图
<3>——选择所有不能相互推导的属性集合，逐一检查能否遍历上面的图（注意，依赖图中只有入度全满足才算可推导）
上图中不能相互推导的集合有：{B}能遍历全图，{C}能遍历全图，{E}不能遍历全图（单个E不能满足B的全部入度）
（这里，考虑一下{B,E}，因为从B出发能遍历到E，连通，所以不检查）
<4>——把上一步算出的集合分别与第1步中入度为0的点组合，最终得到候选键。
本例中候选键为 {A,B}、{A,C} 。
7.函数依赖的基本集：
（1）相关定义：
基本集：对于一个给定的函数依赖集合S，存在多个等效的函数依赖集合，任何与S等效的函数依赖集合都被称为S的基本集。
最小化基本集（minimal basis）：需要满足以下条件
（1）所有函数依赖的右边均为单一属性。（右边最简）
（2）删除其中任何之一就不再是基本集。（数量最少）
（3）对于任意一个函数依赖，若其左边删除一个或多个属性，则不再是基本集。（左边最简）
（2）计算最小化基本集：
用一个例子来说明
已知 {A,B,C,D,E} : AB → CD ， B → D ， C → E ， CE → B ， AC → B
<1>——首先把右边都变成单一属性
AB → C ， AB → D ， B → D ， C → E ， CE → B ， AC → B
<2>——对于每一个X → A，拟删除，再看{X}+是否能得到A
检查AB → C，拟删除，计算{A,B}+ ={A,B,D}得不到C，保留。
检查AB → D，拟删除，计算{A,B}+ ={A,B,D,E}能得到D，删除
删除之后得到（AB → C ， B → D ， C → E ， CE → B ， AC → B）
检查B → D，拟删除，计算{B}+ ={B}得不到D，保留。
检查C → E，拟删除，计算{C}+ ={C}得不到E，保留。
检查CE → B，拟删除，计算{C,E}+ ={C,E}得不到B，保留。
检查AC → B，拟删除，计算{A,C}+ ={A,B,C,D,E}能得到B，删除。
删除之后得到（AB → C ， B → D ， C → E ， CE → B）
<3>——对于每一个X（X1,X2...） → A，依次检查Xi，检查{X-Xi}+是否能得到A，若能则用X-Xi取代X
检查AB → C，{A}+={A}得不到C，{B}+={B,D}得不到C。
检查CE → B，{C}+={C,E,B,D}能得到B，改为C → B。
因此最后得到最小化基本集为：AB → C ， B → D ， C → E ， C → B 。
8.投影函数依赖：
用一个例子来说明
已知关系R （A,B,C,D） 。
已知函数依赖 A → B ; B → C ; C → D 。
求函数依赖在属性 (A,C,D) 上的投影（即删除原来属性B）。
解：
（1）求{A,C,D}所有子集的闭包，列出所涉及函数依赖（该函数依赖中只能出现A,C,D）：
{A}+ = {A,B,C,D} : A → C、A → D (推导出的，还有一个A → B因为涉及B直接丢弃）
{C}+ = {C,D} : C → D
{D}+ = {D} : 无
{A,C}+ = {A,B,C,D} : 与第一个涉及的函数依赖一样
{A,D}+ ={A,B,C,D} : 与第一个涉及的函数依赖一样
{C,D}+ = {C,D} : 无
{A,C,D}+ = {A,B,C,D} : 与第一个涉及的函数依赖一样
（2）最小化基本集：
A → C、A → D、C → D事实上已经是最小化基本集了，本例这个就是答案。
三、多值依赖
1.多值依赖（multivalued dependency，MVD）定义：
设R(U)是属性集U上的一个关系模式，X,Y,Z是U的子集，并且Z=U-X-Y。关系模式R(U)中多值依赖 X → → Y 成立，即对于每一个(X,Z)有多个Y与之对应，并且Y的取值仅与X有关与Z无关。
多值依赖是两个属性或属性集合之间相互独立的宣言，我们可以认为当A → → B时，相同A下，（B）与（非A非B）相互独立。
这里有一个更浅显的意思，即若A → → B，则A与B是一对相关项，A与（非A非B）也是一对相关项，B与（非A非B）是一对毫不相干的项（相关指存在某种联系），这样也就解释了为何对于每一个函数依赖同时也是多值依赖（唯一决定肯定是相关的），而每一个多值依赖不一定是函数依赖（相关不一定是唯一决定）。
2.多值依赖的举例：
上图中，name表示一个明星的名字，street和city表示明星的住址（一个明星可以有好多住址），title和year表示该明星参演的某部电影的名字和上映时间。
对一个每一个确定的name与title,year，存在多个street,city，并且仅与name相关，或者说对于同一个明星他的住址与参演电影信息是独立的，因此可以推断：
name → → street,city
name → → title,year （实质上由于多值依赖的互补性，这两者是等效的）
这种属性之间的独立性会产生冗余，上图中，每个地址出现了三次，每个电影也出现了两次，我们需要一些方法消除多值依赖引起的冗余（接下来会在第四范式中提到）。
3.多值依赖的判别：
如果能在属性A相同的情况下找到三个元组t、v、u，使
<1>——对于B属性，v与t相同。(注：v与u可以不同可以相同，其实若B不属于A肯定不同）
<2>——对于除了AB之外的其他属性，v与u相同。(注：v与t可以不同可以相同，其实若B不属于A肯定不同）
则 A → → B （或者A → → 非A非B，这是互补性的体现）。
4.多值依赖的规则（MVD为多值依赖的缩写）：
（1）平凡MVD：和函数依赖一样，例如 name,street → → street 只要右边属于左边就一样成立。
（2）传递规则：若X → → Y、Y → → Z 则 X → → Z-Y。（结果中除去Z中属于Y的属性）
（3）右边不能分解：若name → → street,city 则不能分解成 name → → street 。
（4）FD推导MVD：若A1...An → B1...Bm（函数依赖），则必然A1...An → → B1...Bm（多值依赖）。
（5）互补规则（complementation rule）：若A → → B ，则 A → → 非A非B 。
（6）附加平凡MVD：若某关系的所有属性为{A1,A2...An,B1,B2...Bm}，则A1,A2...An → → B1,B2...Bm。
5.MVD发现算法——chase扩展到MVD：
用一个例子来说明。
已知 {A,B,C,D} : A → B ， B → → C
需要证明：A → → C成立。
解：
<1>——首先根据需证明的结果A → → C建立一张初始化表，如下图
这张初始化表只有两行，两行都填入有相同的属性A，且不带下标，然后
第一行：属性C中填入不带下标的，其余空带下标。
第二行：属性（非A非C）中填不带下标的，C中填带下标的
<2>——根据函数依赖A → B调整表，A相同的B全写相同（优先选无下标的），如下图
<3>——根据多值依赖B → → C，找到B相同的两行（其实只有两行了），复制这两行，并把这个副本中的C列对调，将其放到表的下面拼成一个四行的表，如下图
只要出现全部无下标的一行（图中第四行），则证明成立。
6.多值依赖的投影——应用MVD发现算法：
用一个例子来说明
已知 R {A,B,C,D,E} ： A → → CD
问这个多值依赖是否蕴含着某些在S（A,B,C）上成立的依赖。
解：
首先根据上述多值依赖，很容易想到A → → C在S上成立（S没有D属性，因此去掉了），运用MVD发现算法证明之。
<1>——根据A → → C与S的属性A,B,C构建初始化表，如下图（参见MVD发现算法）
<2>——根据多值依赖A → → CD，先复制两行，将这个副本的CD两列对调，再放到表下面，拼成一个四行的表。注意这个表没有D列，就当它是空气了，只要对调C列就行。如下图
<3>——我们找到了没有下标的行（第四行），证明成立。
四、关系数据库模式设计要领
1.关系数据库可能产生的异常（anmoaly）：
（1）冗余（redundancy）：上图关系中 学号、姓名、班级、兴趣爱好、班主任、课程 、授课主任列中包含多个重复值。
（2）更新异常（update anomaly）：若更换了13班的班主任，仅仅更新第一行的信息是不够的，为此还要大费周折更新第二、三、四、五行的班主任信息。
（3）删除异常（deletion anomaly）：若小明英语缺考，我们需要删除二、三行的全部信息，但是同时也不必要地删除了小明的跑步兴趣爱好。
实际上，发送异常的主要原因是，冗余和关联。
2.分解关系（decompose）：
为了消除上图中的各种异常，我们将关系分解成六个，如下图（注：分解都是按列分解的）
（1）对于冗余：极大地减少了数据的重复次数，实际上已经消除到最佳。
（2）对于更新异常：若更换了13班的班主任，仅仅需要更新班主任信息的第一行。
（3）对于删除异常：若小明英语缺考，我们仅需要删除英语分数的第一行。
3.分解的优略：
（1）消除异常（Elimination of Anomalie）：
（2）信息的可恢复（Recoverability of Information），即 无损连接：能否从分解后的各元组中恢复分解前的各元组。
（3）依赖的保持（Preservation of Dependencies）：能否从分解后的函数依赖投影中恢复原先的函数依赖。
4.从分解中恢复信息：
（1）有损连接的无法恢复：
用一个例子来说明，下图为某一关系的分解，分解前关系的函数依赖为 A → C 。
分解为{A,B}和{B,C} ： 
+
如果需要恢复，则执行自然连接，如下图：
⋈
=
我们可以看到，出现两个伪元组，这些伪元组无法判别真伪，因此无法恢复。
（2）无损连接（lossless join）：
如果能从 分解后所有关系的元组 中通过自然连接 恢复 之前的各元组，则称该分解含有无损连接。
（3）判别是否含有无损连接，chase检验：
用一个例子来说明
已知分解前的关系 {A,B,C,D} 被分解为三个关系，分别为 {A,D}、{A,C}、{B,C,D}，
若分解前（不投影）的 函数依赖 为 A → B 、 B → C 、 CD → A，
判断是否含有无损连接。
解：
<1>——首先，根据分解后包含哪些属性（{A,D}、{A,C}、{B,C,D}）初始化一张表，如下
上表中，每一行对应一个分解的关系。
第一行对应{A,D}，将A与D属性值设置成不带下标的a、d，其他属性都带下标1。
第二行对应{A,C}，将A与C属性值设置为不带下标的a、c，其他属性都带下标2。
第三行对应{B,C,D}，将B与C与D属性值设置为不带下标的b、c、d，其他属性都带下标3。
<2>——表初始化完成，接下来逐一根据 函数依赖 更改表中值。
根据依赖A → B，将A相同的所有B改相同（优先选择无下标的），如下图
根据依赖B → C，将B相同的所有C改相同（优先选择无下标的），如下图
根据依赖CD → A，将C、D相同的所有A改相同（优先选择无下标的），如下图
<3>——判断，若存在全部为不带下标的行（如上图中第三行），则为无损连接（上述即含有无损连接）。
下面给一个上述无损连接恢复的例子：
（原表）
⋈
⋈
（分解后的表一个接一个自然连接恢复）
结果就是原表（可以动手推一下）。
五、关系数据库常用分解模式
1.第一范式（1NF）：
可以认为任何表都属于第一范式，因为每个表的最小单位为表中的各个属性。
一般在分解之前，我们先求出所有候选键，从中挑选出一个作为主键，然后最小化函数依赖基本集。
上述表肯定是符合第一范式的，我们先得到如下信息： （我们先按照前面说的方法确定主键和函数依赖的最小基本集）
候选键为 学号、课程、兴趣爱好 和 学号、授课主任、兴趣爱好，我们一般选一个作为主键。
学生信息{学号，姓名，班级，兴趣爱好，班主任，课程，授课主任，分数}
学号 → 姓名，班级 ; 班级 → 班主任 ; 学号，课程 → 分数 ; 课程 → 授课主任 ; 授课主任 → 课程
2.第二范式（2NF）：
（1）定义：
A relation is in 2NF if it is in 1NF and no non-prime attribute is dependent on
any proper subset of any candidate key of the relation.
在满足第一范式前提下，在所有函数依赖表达式中，不存在任何候选键的真子集决定非主属性，
即消除非主属性对于键的部分依赖。
（2）分解规则：
我们可以从上图中得出
候选键：{学号，兴趣爱好，课程}、{学号，兴趣爱好，授课主任}
主属性：学号、兴趣爱好、课程、授课主任
非主属性：班级、姓名、班主任、分数
由于存在 学号 → 姓名 ； 学号 → 班级 ； 学号 → 班级 → 班主任 ； 学号，课程 → 分数 等非主属性由键的一部分决定，因此不满足第二范式，需要分解。
分解为如下三张表：
<1>——学生信息 {学号，姓名，班级，班主任} ：
候选键：{学号}
主属性：学号
非主属性：姓名、班级、班主任
函数依赖在这上面的投影为：学号 → 姓名 ； 学号 → 班级 ； 班级 → 班主任
由于 学号 → 姓名 ； 学号 → 班级 ； 学号 → 班级 → 班主任 非主属性由键（而非键的一部分）决定，因此满足第二范式。
<2>——学生课程信息 {学号，课程，授课主任，分数} ：
候选键：{学号，课程}、{学号，授课主任}
主属性：学号、课程、授课主任
非主属性：分数
函数依赖在这上面的投影为：学号，课程 → 分数 ； 学号 → 班级 ； 学号 → 班级 → 班主任
由于非主属性由键（而非键的一部分）决定，因此满足第二范式。
<3>——学生课程及爱好信息 {学号，课程，兴趣爱好} ：
候选键：{学号，兴趣爱好，课程}
主属性：学号、兴趣爱好、课程
非主属性：无
函数依赖在这上面的投影为：无
由于非主属性（这里没有非主属性，必然满足）由键（而非键的一部分）决定，因此满足第二范式。
最终得到的分解结果如下：
（3）分解效果：
对于冗余：极大地减少了数据的重复次数，不过仍然存在冗余
对于更新异常：若更换了13班的班主任，仅需要访问两个元组，比之前方便了点。
对于删除异常：若小明英语缺考，我们需删除学生课程信息的第二行，但同时也删除了赵英的信息，有风险。
3.第三范式（3NF）：
（1）定义：
The relation R (table) is in second normal form (2NF). Every non-prime attribute of R is non-transitively dependent on every key of R.
在满足第二范式前提下，在所有函数依赖表达式中，所有非主属性不传递依赖于候选键，这里A → B ， B → C则称C传递依赖于A，
即消除非主属性对于键的部分依赖、传递依赖。
（2）分解规则：
对于2NF分解结果中的第一个表学生信息 {学号，姓名，班级，班主任}
候选键：{学号}
主属性：学号
非主属性：姓名、班级、班主任
函数依赖：学号 → 姓名 ； 学号 → 班级 ； 班级 → 班主任
由于 学号 → 班级 → 班主任 存在非主属性传递依赖于候选键，因此不满足第三范式，需要分解。
该表分解为如下两张表：
<1>——学生信息 {学号，姓名，班级} ：
候选键：{学号}
主属性：学号
非主属性：姓名、班级
函数依赖在这上面的投影为：学号 → 姓名 ； 学号 → 班级
由于 不存在非主属性传递依赖于候选键，因此满足第三范式。
<2>——班主任信息 {班级，班主任} ：
候选键：{班级}
主属性：班级
非主属性：班主任
函数依赖在这上面的投影为：班级 → 班主任
由于 不存在非主属性传递依赖于候选键，因此满足第三范式。
最终得到的分解结果如下：
（3）分解效果：
对于冗余：极大地减少了数据的重复次数
对于更新异常：若更换了13班的班主任，仅需要访问一个元组，该异常消除了，但如果更换授课主任任然有异常。
对于删除异常：若删除某个班主任，仅访问一个元组，不存在风险。
4.Boyce-Codd范式（BCNF，3.5NF）：
（1）定义：
X → Y is a trivial functional dependency (Y 属于 X)，X is a superkey for schema R
在所有（平凡）函数依赖表达式中，箭头左边都是超键（可以推导出它必满足第三范式），
即消除任何属性对于键的部分依赖、传递依赖。
（2）分解规则：
对于3NF分解结果中的第三个表学生课程信息 {学号，课程，授课主任，分数}：
候选键：{学号，课程}、{学号、授课主任}
所有属性：学号、课程、授课主任、分数
函数依赖：学号，课程 → 分数 ； 课程 → 授课主任 ； 授课主任 → 课程
由于 课程 → 授课主任 、 授课主任 → 课程 存在箭头左边不是超键，因此不满足BCNF范式，需要分解。
该表分解为如下两张表：
<1>——课程分数信息 {学号，课程，分数} ：
候选键：{学号，课程}
函数依赖在这上面的投影为：学号，课程 → 分数
由于 箭头左边是键，因此满足BCNF范式。
<2>——授课主任信息 {课程，授课主任} ：
候选键：{课程}、{授课主任}
函数依赖在这上面的投影为：课程 → 授课主任
由于 箭头左边是键，因此满足BCNF范式。
最终得到的分解结果如下：
（3）分解效果：
对于冗余：极大地减少了数据的重复次数
对于更新异常：若更数学授课主任，仅需要访问一个元组，该异常消除了。
对于删除异常：若小明英语缺考，仅访问课程分数表中一个元组，删除之，不存在风险。
5.第四范式（4NF）：
（1）定义：
for every one of its non-trivial multivalued dependencies X -> Y, X is a superkey.
在所有（平凡）多值依赖表达式中，箭头左边都是超键（由于每个函数依赖也是多值依赖，可以推导出它必满足Boyce-Codd范式），
即消除任何属性对于键的部分多值依赖、传递多值依赖。（注：函数依赖也属于多值依赖）
（2）分解规则：
对于BCNF分解结果中的第五个表学生课程及爱好信息 {学号，兴趣爱好，课程}：
存在三个行：第一行，第二行，第三行，使
在学号相同的情况下，第二行的兴趣爱好根第一行的相同，第二行的课程又根第三行相同。
因此存在多值依赖 学号 → → 兴趣爱好 （由于互补性，学号 → → 课程 也成立）
候选键：{学号，兴趣爱好，课程}
由于该多值依赖左边不是超键，因此不满足第四范式，需要分解。
该表分解为如下两张表：
<1>——兴趣爱好信息 {学号，兴趣爱好} ：
候选键：{学号}
多值依赖在这上面的投影为：学号 → → 兴趣爱好，这个可以直接退化为 学号 → 兴趣爱好
由于 箭头左边是键，因此满足第四范式
<2>——学号课程信息 {学号，课程} ：注意！！此表是之前课程分数信息表的子集，可以直接删去。
最终得到的分解结果如下：
（3）分解效果：
对于冗余：消除了所有冗余
对于更新异常：若更新小明的兴趣爱好，仅需要访问一个元组，该异常消除了。
对于删除异常：若删除小明跑步的兴趣爱好，仅删除兴趣爱好信息中的一个元组，删除之，不存在风险。
例题1：
Which items can determine all attributes in a relation:
A.super key B.foreign key C.candidate key D.primary key
解答：
我们知道，候选键（包含主键） → 任何属性 ， 超键 → 任何属性 。由于主键是候选键的子集，候选键又是超键的子集，我们选择A、C、D。
例题2：
In a relational database, given R<U,F>, U={A,B,C}, F={A → B，B → C，C → A}, a decomposition of R is p={AB,BC}, and the decomposition is :
A.lossless-join, dependency preserving B.lossless-join, not dependency preserving
C.lossy-join, dependency preserving B.lossy-join, not dependency preserving
解答：
如果将{A,B,C} ： A → B，B → C，C → A 划分为{A,B}、{B,C} ，是否有无损连接和依赖保持。
检验无损连接：
第一步
，第二步
存在没有下标的行，因此具有无损连接。
检验依赖保持：
{A,B} ： A → B
{B,C} ： B → C
丢失了C → A信息，依赖不能保持，因此选择B。
例题3：
Consider a relation schema R<U,F>, where U={A,B,C,D,E}, and the set of functional dependencies
F={AB → CD，B → D，C → E，CE → B，AC → B}.
(1)Use Armstrong axioms and related rules to proof the functional dependency AC->E.
(2)Find a canonical cover Fc of F, and compute {C}+ .
(3)Find all candidate keys, and point out R is in which normal form.
(4)Decompose R into 3NF that is dependency preserving and lossless-join.
(5)Explain or demonstrate that your decomposition is dependency preserving and lossless-join.
解答：
已知 R（A,B,C,D,E） : AB → CD ， B → D ， C → E ， CE → B ， AC → B 。
（1）用Armstrong axioms规则推导出AC->E。
增长律Augmentation：if A->B then AC->BC，这个比较重要，延长函数依赖不变。
我们这样推导，C->E then AC->AE then AC->E（分解/结合规则）推导结束。
（2）canonical cover即依赖的最小覆盖，其实就是求最小化基本集。
在二.7中已经给出过程，最后得到以下结果：
AB → C ， B → D ， C → E ， C → B 。
该问题后面需要求{C}+ ={C,E,B,D}，可以用上面得到的最小化基本集来解，减少了一些不必要的过程。
（3）找到所有候选键，并指出关系R是属于何种范式。
二.6中已经给出过程，结果如下：
候选键：{A,B}、{A,C}
主属性：A，B，C
非主属性：D，E
函数依赖：AB → C，B → D，C → E，C → B
对于第二范式，非主属性D、E由键的一部分决定，不满足，因此为第一范式
（4）将该关系分解为满足第三范式的关系。
{A,B,C,D,E} ： AB → C ， B → D ， C → E ， C → B，候选键： {A,B}、{A,C}
<1>——分解为第二范式
{A,B,C,E} : AB → C ， C → E ， C → B， 候选键：{A,B}、{A,C}， 主属性：A,B,C， 非主属性：E。
由于AB → C → E满足第二范式。
{B,D} ： B → D， 候选键：{B} ， 主属性：B ， 非主属性：D
由于D由键决定，满足第二范式。
<2>——再分解为第三范式
对于{A,B,C,E}由于存在非主属性E对于键AB的传递依赖，不满足第三范式，继续分解。
{A,B,C} : AB → C ， C → B ， 候选键：{A,B}、{A,C}， 主属性：A,B,C， 非主属性：无
没有非主属性，满足第三范式。
{C,E} ： C → E ， 候选键：{C}，主属性：C，非主属性：E
由于E直接由键决定且无传递依赖，满足第三范式
对于{B,D}没有非主属性对于键的部分、传递依赖，也满足第三范式。
因此，最后分解为：
{A,B,C} ： AB → C ， C → B
{C,E} ： C → E
{B,D} ： B → D
（5）证明这个划分是无损连接。
用chase检验：
<1>——用划分集合初始化表
<2>——逐一根据函数依赖更改表中值（优先选择无下标的），得到如下图
<3>判断是否存在全部不带下标的行
存在，因此具有无损连接。