左右手坐标系的转换

文章目录

• 左手系与右手系的旋转正方向
• 点的转换
• 旋转的转换
• 旋转矩阵
• 四元数
• 结论
• X轴取反
• Y轴取反
• Z轴取反

本文描述了左右手坐标系的数据转换过程，其中包括点，平移，旋转（旋转矩阵，四元数）。以不同手系中点的转换出发，详细推导了旋转矩阵以及四元数的转换过程，并且在文末的结论中给出了三种情况下（X轴取反，Y轴取反，Z轴取反）的平移（点）和旋转的转换（旋转矩阵，四元数）。

参考：左右手坐标系的数据转换

左手系与右手系的旋转正方向

• 判断方法：大拇指指向旋转轴正方向，剩余四个手指弯曲方向为旋转正方向。可以看出左手系中旋转正方向是顺时针，右手系中旋转正方向是逆时针

点的转换

点在左右手系中的转换最简单，只需要将某一个轴分量取反。以Z轴取反为例，右手系中的点P_r(x,y,z)在左手系中转换为点P_l(x,y,-z)，用矩阵表示为：
$P_l=\begin{bmatrix} x\\y\\-z\\\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\y\\z\end{bmatrix}=S_TP_r$Pl​=⎣⎡​xy−z​⎦⎤​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=ST​Pr​
点的转换矩阵为：
$S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$ST​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​

旋转的转换

旋转矩阵

假设一个右手系中的旋转矩阵为：
$R_r=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix}$Rr​=⎣⎡​r00​r10​r20​​r01​r11​r21​​r02​r12​r22​​⎦⎤​
输入一个点P_r(x,y,z)经过该矩阵变换后输出点P_r’(x’,y’,z’)：
$P'_r= \begin{bmatrix} x'\\y'\\z'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y\\z\end{bmatrix}=R_rP_r$Pr′​=⎣⎡​x′y′z′​⎦⎤​=⎣⎡​r00​r10​r20​​r01​r11​r21​​r02​r12​r22​​⎦⎤​⎣⎡​xyz​⎦⎤​=Rr​Pr​
在左手系中，输入和输出的Z轴分量都取反，于是在左手系中的变换为$P_l=(x,y,-z)\rightarrow (x',y',-z')=P_l'$Pl​=(x,y,−z)→(x′,y′,−z′)=Pl′​
又
$P_l'=S_TP_r'=S_TR_rP_r=S_TR_rS_TP_l$Pl′​=ST​Pr′​=ST​Rr​Pr​=ST​Rr​ST​Pl​
因此，在左手系中的旋转矩阵变为：
$R_l=S_TR_rS_T$Rl​=ST​Rr​ST​
可以理解为在左手系中将该旋转拆分为三步：

1. 将左手系中的点变换到右手系中
2. 根据右手系中的旋转矩阵进行旋转
3. 将旋转后的点变换到左手系中

将点转换矩阵带入计算：
$R_l=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&r_{02}\\r_{10}&r_{11}&r_{12}\\r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix} =\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&-r_{02}\\r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\-r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix}$Rl​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​⎣⎡​r00​r10​r20​​r01​r11​r21​​r02​r12​r22​​⎦⎤​⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​=⎣⎡​r00​r10​−r20​​r01​r11​−r21​​−r02​−r12​r22​​⎦⎤​

四元数

由旋转矩阵转四元数的转换公式可得：
$q_{0l}=\frac{\sqrt{1+tr(R_l)}}{2}=q_0\\ q_{1l}=\frac{-r_{12}-(-r_{21})}{4q_0}=-\frac{r_{12}-r_{21}}{4q_0}=-q_1\\ q_{2l}=\frac{-r_{20}-(-r_{02})}{4q_0}=-\frac{r_{20}-r_{02}}{4q_0}=-q_2\\ q_{3l}=\frac{r_{01}-r_{10}}{4q_0}=q_3$q0l​=21+tr(Rl​)​​=q0​q1l​=4q0​−r12​−(−r21​)​=−4q0​r12​−r21​​=−q1​q2l​=4q0​−r20​−(−r02​)​=−4q0​r20​−r02​​=−q2​q3l​=4q0​r01​−r10​​=q3​

结论

X轴取反

点转换矩阵：
$S_T= \begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ST​=⎣⎡​−100​010​001​⎦⎤​
旋转矩阵:
$\begin{bmatrix}r_{00}&-r_{01}&-r_{02}\\-r_{10}&r_{11}&r_{12}\\-r_{20}&r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\$⎣⎡​r00​−r10​−r20​​−r01​r11​r21​​−r02​r12​r22​​⎦⎤​
四元数：
$q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=q_1\\ q_{2l}=-q_2\\ q_{3l}=-q_3$q0l​=q0​q1l​=q1​q2l​=−q2​q3l​=−q3​

Y轴取反

点转换矩阵：
$S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}$ST​=⎣⎡​100​0−10​001​⎦⎤​
旋转矩阵:
$\begin{bmatrix}r_{00}&-r_{01}&r_{02}\\-r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\$⎣⎡​r00​−r10​r20​​−r01​r11​−r21​​r02​−r12​r22​​⎦⎤​
四元数：
$q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=-q_1\\ q_{2l}=q_2\\ q_{3l}=-q_3$q0l​=q0​q1l​=−q1​q2l​=q2​q3l​=−q3​

Z轴取反

点转换矩阵：
$S_T= \begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}$ST​=⎣⎡​100​010​00−1​⎦⎤​
旋转矩阵:
$\begin{bmatrix}r_{00}&r_{01}&-r_{02}\\r_{10}&r_{11}&-r_{12}\\-r_{20}&-r_{21}&r_{22}\end{bmatrix} \\$⎣⎡​r00​r10​−r20​​r01​r11​−r21​​−r02​−r12​r22​​⎦⎤​
四元数：
$q_{0l}=q_0\\ q_{1l}=-q_1\\ q_{2l}=-q_2\\ q_{3l}=q_3$q0l​=q0​q1l​=−q1​q2l​=−q2​q3l​=q3​