电路滤波器——（二）RC有源滤波器

RC有源滤波器

有源滤波器：

• 优点：不使用电感，体积小；可放大信号且倍数易调节；可加入电压串联负反馈，是输入电阻高，输出电阻低，输入输出之间有良好的隔离。
• 缺点：可靠性差；不宜用于高频；不宜在高电压、大电流下使用；需外接电源。

一阶低通有源滤波器 - VCVS压控电压源电路

一种同相输入，产生正向增益的低阶滤波器，通过负反馈网络形成一个增益可控的VCVS。从一阶VCVS说起：

• 输入电压先经过低通滤波器滤波，后输入至同相比例放大电路的同相端；

• 同相比例放大电路由R1、Rf、放大器组成。同相比例放大器输入阻抗高，输出阻抗低，性能稳定，增益容易调节。
  $\begin{aligned} &\text{传递函数}\qquad &&A(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\dot{A}_u\cdot A_0=\frac{A_0}{1+j\omega/\omega_n}\\ &\text{RC滤波器幅频函数}\qquad &&\dot{A_u}=\frac{\dot{U_c}}{\dot{U_i}}=\frac{1}{1+j\omega RC}\\ &\text{放大器增益}\qquad &&A_0=\frac{R_1+R_f}{R_1}\\ &\text{特征角频率}\qquad &&\omega_0=\frac{1}{RC}\\ &\text{幅频响应}\qquad &&|A(j\omega)|=\frac{A_0}{\sqrt{1+(\omega/\omega_0)^2}} \end{aligned}$​传递函数RC滤波器幅频函数放大器增益特征角频率幅频响应​​A(s)=Vi​(s)Vo​(s)​=A˙u​⋅A0​=1+jω/ωn​A0​​Au​˙​=Ui​˙​Uc​˙​​=1+jωRC1​A0​=R1​R1​+Rf​​ω0​=RC1​∣A(jω)∣=1+(ω/ω0​)2​A0​​​

一阶高通有源滤波器

将低通滤波器的前置低通RC电路替换为高通。
$\text{传递函数}\qquad A(s)=\frac{1}{1+\omega_n/s}$传递函数A(s)=1+ωn​/s1​

二阶有源滤波器

• 对于低通，Y1、Y2为电阻R1、R2；Y3、Y4为电容C1、C2（公式推导以低通为例）。

• 二阶有源滤波在转折频率处性能不佳，因此引入一定正反馈Y3可改善。

• R3、R4、放大器组成同相比例放大器。
  $\begin{aligned} \text{传递函数}\qquad A(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}&=\frac{U_2(s)}{U_1(s)}=\frac{U_b(s)}{U_1(s)}\cdot\frac{U_2(s)}{U_b(s)}\\&=\dot{A}_u\cdot A_0\\ &=\frac{A_0Y_1Y_2}{Y_3Y_4+(1-A_0)Y_2Y_3+Y_2Y_4+Y_1Y_2+Y_1Y_4}\\ &=\frac{A_0}{R_1R_2C_1C_2s^2+[R_2C_2+R_1C_2+R_1C_1(1-A)]s+1}\\ &=\frac{A_{\omega_0}^2}{s^2+\omega_0/Q\cdot s+{\omega_0}^2} \end{aligned}$传递函数A(s)=Vi​(s)Vo​(s)​​=U1​(s)U2​(s)​=U1​(s)Ub​(s)​⋅Ub​(s)U2​(s)​=A˙u​⋅A0​=Y3​Y4​+(1−A0​)Y2​Y3​+Y2​Y4​+Y1​Y2​+Y1​Y4​A0​Y1​Y2​​=R1​R2​C1​C2​s2+[R2​C2​+R1​C2​+R1​C1​(1−A)]s+1A0​​=s2+ω0​/Q⋅s+ω0​2Aω0​2​​​

  $\text{a,b处KCL方程} \qquad \begin{aligned} &\begin{cases} \frac{U_1-U_a}{Y_1}-\frac{U_a-U_b}{Y_2}=\frac{U_a-U_2}{Y_3} \\ U_a(s)\cdot\frac{Y_4}{Y_2+Y_4}=U_b(s) \end{cases} \end{aligned}$a,b处KCL方程​{Y1​U1​−Ua​​−Y2​Ua​−Ub​​=Y3​Ua​−U2​​Ua​(s)⋅Y2​+Y4​Y4​​=Ub​(s)​​

  $\begin{aligned} &\text{放大器增益}\qquad &&A_0=\frac{U_2(s)}{U_b(s)}=\frac{R_3+R_4}{R_3}\\ &\text{特征角频率}\qquad &&{\omega_0}^2=\frac{1}{R_1R_2C_1C_2}\\ &\text{品质因数}\qquad &&Q=\frac{1}{3-A_0}\\ &\text{相频响应}\qquad &&\varphi(\omega)=-arctg\frac{\omega/(\omega_0Q)}{1-(\omega/\omega_0)^2} \end{aligned}$​放大器增益特征角频率品质因数相频响应​​A0​=Ub​(s)U2​(s)​=R3​R3​+R4​​ω0​2=R1​R2​C1​C2​1​Q=3−A0​1​φ(ω)=−arctg1−(ω/ω0​)2ω/(ω0​Q)​​

• $A_0<3$A0​<3 时，滤波电路才能稳定工作，$A_0\geqq 3$A0​≧3时，滤波器自激

总结

参考文献：

• 牛燕炜. 有源低通滤波器的设计与仿真分析[J]. 现代电子技术, No.251(12):181-183.
• 王龙, 贾瑞皋, 陈洪海. VCVS有源滤波器的设计及Matlab辅助仿真分析[J]. 测井技术, 2005(06):95-99.
• 滤波器基本概念分类 - https://mbb.eet-china.com/forum/topic/75523_1_1.html
• 低通、高通、带通、带阻、状态可调滤波器 - https://mbb.eet-china.com/forum/topic/76881_1_1.html