灵魂级别讲解均差与牛顿插值大概原理到代码实现

1 背景小知识

什么是插值？为什么要插值？怎么插值？这是这里需要知道的背景知识（个人的理解）。

插值就是在已知一些点（此处是xy坐标）的前提下，在已知点之间进行取多个点，取点方法多样，取点的方法也就是插值的方法。

如比较经典的拉格朗日插值，牛顿插值，分段插值等等。

为什么要插值？在工程应用中，很多时候某些特性的函数是不确定的，换句话说是无解或者解不出来，但是通过实验或者其他方

法可以取得样本，也就是取得已知点，那么我们通过人为的插入点，可以对函数进行大致的估计，从而使用估计后的函数来代替原函数。

2 均差与牛顿插值

了解一下插值多项式，我理解的就是反映某一特性的变化规律，下面是准确的定义。

牛顿插值是建立在均差的基础之上的，所以必须了解其定义。一阶的均差的定义和导数的定义有相似之处，此处需要注意的是i和j

可以是不相邻的。多阶在一阶的基础之上推演出来的。不要问我为什么要这样定义，这得问定义的那个人。很多时候，数学就是搞

一些莫名其妙的定义，发现其性质很好，然后有的就可以用于工程，这就我理解的数学。

再看看牛顿多项式，其中就运用到了均差。用已知的离散点表示出了一个多项式，可以理解成一个函数，这个函数的系数是已知的

离散点(y0=f(x0),y1=(x1).....)确定的，而函数的输入则是需要插值点的横坐标x，输出的是纵坐标y。

此方法肯定有误差，但是在此处不谈论，读入有兴趣可以参考教材。

这是大概的原理，比较简洁，此处不是方法原理为重点，很多细节没有展示，但是读者肯定觉得抽象，下面代码和验证会让我们理解更清晰。

3 代码实现与验证

下面的代码主要是生成均差表，用的就是均差的定义，代码难处都已经注释了，下面没有直接给出可以复制的代码，而是图片的形式，希望读者自己动手写，在写

的过程中思考每一行代码。

下面的函数是利用牛顿插值法，输入是x和y（矩阵）一一对应的数值，也就是已知的离散点，和所需要求的插值点的横坐标x

输出的则是与其对应的纵坐标y。

写几行代码验证一下，定义x和y矩阵，生成均差表，然后在等距取点，求出插值。

下面是均差表，与定义的均差表格式一样

下图中，实线是已知点直接点与点相连，而空心点是插值点。插值点在实线附近，没有距离特别远的点。