工业机器人工具坐标系（TCF）标定的六点法原理

一、基本步骤
二、标定过程
三、参考文献

一、基本步骤

（1）在机器人动作范围内找一个非常精确的固定点作为参考点；
（2）在工具上确定一个参考点（最好是工具中心点Tool Center Point, TCP）;
（3）手动操纵机器人的方法移动TCP，以四种不同的工具姿态与固定点刚好碰上。
前三个点任意姿态，第四点是用工具的参考点垂直于固定点，第五点是工具参考点从固定点向将要设定的TCP的x方向移动，第六点是工具参考点从固定点向将要设定的TCP的在z方向移动，如下图所示：

（4）通过前4个点的位置数据即可计算出TCP的位置，通过后2个点即可确定TCP的姿态

二、标定过程

1、TCP位置标定

假设取1、2、3、4四个标定点之间相差90°且不在同一平面上，如下图所示：

给定如下坐标系定义：

【1】基坐标系(0坐标系)：B
【2】末端坐标系：E
【3】工具坐标系：T

给定如下变换矩阵定义：

【1】末端坐标系 E 相对于基坐标系 B的变换关系：$^{B}_ {E}T$
【2】工具坐标系T 相对于末端坐标系 E的变换关系：$^{E}_ {T}T$
【3】工具坐标系T 相对于基坐标系 B的变换关系：$^{B}_ {T}T$

显然可以知道：
$$^{B}_ {E}T · ^{E}_ {T}T = ^{B}_ {T}T \tag{1}$$

对于选定位置点 i = 1、2、3、4，有：

【1】$^{B}_ {E}T$不等，设：

\[^{B}_ {E}T = \begin{bmatrix} \pmb{^{B}_ {E}R_{i}} & \pmb{^{B}P_ {Ei}}\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{2} \]

【2】$^{E}_ {T}T$不等，但其位置$^{E}P_ {T}$相等，设：

\[^{E}_ {T}T = \begin{bmatrix} ^{E}_ {T}R_ {i} & \pmb{^{E}P_ {T}} \\ 0 & \pmb{1} \\ \end{bmatrix} \tag{3} \]

【3】$^{B}_ {T}T$ 不等，但其位置$^{E}P_ {T}$相等，设：

\[ ^{B}_ {T}T = \begin{bmatrix} ^{B}_ {T}R_ {i} & \pmb{^{B}P_ {T}}\\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \tag{4} \]

关注公式(2)、(3)、(4)中加粗符号，有：

\[ \pmb{^{B}_ {E}R_ {i}} · \pmb{^{E}P_ {T}} + \pmb{^{B}P_ {Ei}} = \pmb{^{B}P_ {T}} \tag{5} \]

在实际中，$^{B}_ {E}T$ 由机器人正解方程可以直接测得，因此，我们直接读取四个位置点的姿态$^{B}_ {E}R_ {i}$和位置$^{B}P_ {Ei = 1, 2, 3, 4}$。假设：

\[^{B}_ {E}R_ {1}· ^{E}P_ {T} + ^{B}P_ {E1} = ^{B}P_ {T} \tag{6} \]

\[^{B}_ {E}R_ {2}· ^{E}P_ {T} + ^{B}P_ {E2} = ^{B}P_ {T} \tag{7} \]

则，(6) - (7)得：

\[(^{B}_ {E}R_ {1} - ^{B}_ {E}R_ {2} )· ^{E}P_ {T} = ^{B}P_ {E2} - ^{B}P_ {E1} \tag{8} \]

同理可得：

\[(^{B}_ {E}R_ {2} - ^{B}_ {E}R_ {3} )· ^{E}P_ {T} = ^{B}P_ {E3} - ^{B}P_ {E2} \tag{9} \]

\[(^{B}_ {E}R_ {3} - ^{B}_ {E}R_ {4} )· ^{E}P_ {T} = ^{B}P_ {E4} - ^{B}P_ {E3} \tag{10} \]

由(8)、(9)、(10)可得：

\[ \begin{bmatrix} ^{B}_ {E}R_ {1} - ^{B}_ {E}R_ {2}\\ ^{B}_ {E}R_ {2} - ^{B}_ {E}R_ {3}\\ ^{B}_ {E}R_ {3} - ^{B}_ {E}R_ {4} \end{bmatrix}· ^{E}P_ {T} = \begin{bmatrix} ^{B}P_ {E2} - ^{B}P_ {E1}\\ ^{B}P_ {E3} - ^{B}P_ {E2}\\ ^{B}P_ {E4} - ^{B}P_ {E3} \end{bmatrix} \tag{11} \]

由于$^{E}P_ {T}$为 3x1 列向量，而等式右边为 9x3的矩阵，因此方程(11)为不相容方程组，不可直接用非齐次线性方程组求解的方法或者solve求解。采用最小二乘法的矩阵形式，因其系数矩阵不是方阵，不可直接求逆，因此使用广义逆。采用高斯消元法得到：

\[^{E}P_ {T} = \begin{bmatrix} ^{B}_ {E}R_ {1} - ^{B}_ {E}R_ {2}\\ ^{B}_ {E}R_ {2} - ^{B}_ {E}R_ {3}\\ ^{B}_ {E}R_ {3} - ^{B}_ {E}R_ {4} \end{bmatrix}\verb|\| \begin{bmatrix} ^{B}P_ {E2} - ^{B}P_ {E1}\\ ^{B}P_ {E3} - ^{B}P_ {E2}\\ ^{B}P_ {E4} - ^{B}P_ {E3} \end{bmatrix} \tag{12} \]

则式(12)所求得的$^{E}P_ {T}$即为TCP的位置向量。

2、TCF姿态标定

在第1部分已经得到工具坐标系(TCF)的位置，而计算TCP姿态采用z/x方向标定。
此过程中TCF的姿态保持不变(如第一节 -- 基本步骤中图所示)。取第一个姿态标定点为位置点4（下图记作标定点1）；机器人从位置点4出发，沿+x方向移动一定距离得到位置点5（下图记作标定点2)；机器人从位置点4出发，沿+z方向移动一定距离得到位置点6(下图记作标定点3）。如下图所示：

由于3个标定点中的TCF姿态不变，故$^{B}_ {E}R_{i = 4,5,6}$均相等，且由(12)得 $^{E}P_ {T}$ 保持不变，故可得到工具坐标系 T 的 x 轴轴向向量 $X$ ，且：

\[X = ^{B}P_ {E5} - ^{B}P_ {E4} \tag{13} \]

同理，可得到工具坐标系 T 的 z 轴轴向向量 $Z$ ，且：

\[Z = ^{B}P_ {E6} - ^{B}P_ {E4} \tag{14} \]

进而由右手定则得工具坐标系 T 的 y 轴轴向向量 $Y$ ：

\[Y = Z \times X\tag{15} \]

为进一步保证坐标系矢量的正交性，重新计算$Z$ ：

\[Z = X \times Y \tag{16} \]

将(13)、(15)、(16）单位化得到$X^{\'}, Y^{\'}, Z^{\'}$，得到工具坐标 T 相对于基坐标 B 的姿态$^{B}_ {T}R$，且

\[^{B}_ {T}R = \begin{bmatrix}X^{\'} Y^{\'} Z^{\'} \end{bmatrix} \tag{17} \]

又末端坐标系 E 旋转矩阵为$^{B}_ {E}R$，且：

\[^{B}_ {E}R\ ^{E}_ {T}R=^{B}_ {T}R \tag{18} \]

故由(17)、(18)即可得到工具坐标系的旋转矩阵$^{E}_ {T}R$，即：

\[^{E}_ {T}R = ^{B}_ {E}R^{-1}\ ^{B}_ {T}R \tag{19} \]

3、TCF标定结果

由(12)和(19)，可得到工具坐标系 $^{E}_ {T}T$ 标定为：

\[^{E}_ {T}T = \begin{bmatrix} ^{E}_ {T}R & ^{E}P_ {T} \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \tag{20} \]

显然，TCF六点法标定的最小条件是能够获取到6个位置点的位姿$^{B}_ {E}T_{i=1,2,3,4,5,6}$，且为使式(12)能求解，应保证位置点1，2，3，4不在同一平面上。

三、参考文献

【1】康存锋，王红伟，张鹏飞等.焊接机器人工具坐标系标定的研究与实现[j].北京工业大学学报 2016, 42(1).
【2】兰虎等.《工业机器人技术及应用》.