机器学习--线性回归算法的原理及优缺点

时间：2024-02-22 19:16:12

一、线性回归算法的原理

　　回归是基于已有数据对新的数据进行预测，比如预测股票走势。这里我们主要讲简单线性回归。基于标准的线性回归，可以扩展出更多的线性回归算法。　

　　线性回归就是能够用一个直线较为精确地描述数据之间的关系，这样当出现新的数据的时候，就能够预测出一个简单的值。

　　线性回归的模型形如：

　　　　              

　　线性回归得出的模型不一定是一条直线：

　　　　（1）在只有一个变量的时候，模型是平面中的一条直线；

　　　　（2）有两个变量的时候，模型是空间中的一个平面；

　　　　（3）有更多变量时，模型将是更高维的。

　　线性回归模型有很好的可解释性，可以从权重W直接看出每个特征对结果的影响程度。线性回归适用于X和y之间存在线性关系的数据集，可以使用计算机辅助画出散点图来观察是否存在线性关系。我们尝试使用一条直线来拟合数据，使所有点到直线的距离之和最小。

　　实际上，线性回归中通常使用残差平方和，即点到直线的平行于y轴的距离而不用垂线距离，残差平方和除以样本量n就是均方误差。均方误差作为线性回归模型的损失函数(cost function)。使所有点到直线的距离之和最小，就是使均方误差最小化，这个方法叫做最小二乘法。

　　损失函数公式：

　　　　          因为  

　　最后通过求解，得到w及b的计算公式分别如下：

　　　　             ，  

 

 　　推理过程：

 

                                             

 　　假设我们找到了最佳拟合的直线方程 ： ，

　　　　则对每一个样本点    ，根据我们的直线方程，预测值为：，其对应的真值为   。

　　我们希望    和   的差距尽量小，这里我们用   表达   和  的距离，

　　　　考虑所有样本则为：

　　我们的目标是使   尽可能小，而    ，所以我们要找到  a 、b  ,使得  尽可能小。

　　　　被称为损失函数或效用函数。

 

　　通过分析问题，确定问题的损失函数或效用函数，通过最优化损失函数或者效用函数，获得机器学习的模型，这是参数学习算法的一般套路。

　　求损失函数可转化为典型的最小二乘法问题: 最小化误差的平方。

　　　　最小二乘法的求解过程：

                   目标：找到  a 、b  ,使得  尽可能小。

　　　　　　  

　　　　　　     

　　　　　　 

 　　　　　　　　　　　　    

　　　　　　　　　　     

　　　　　　　　　　　       

　　　　　      　　　　　  

　　　　　　　　　　　        

　　　　             

　　　　　　　　　　　　          

　　　　　　　　　　　　                    

　　　　　　　　　　　　　　  

　　　　　　　　　　　　　　　             

　　　　　　　　　　　　　　　　　  

　　　　　　　　　　　 

　　一般过程：

               假设输入数据集D有n个样本，d个特征，则：
                          D=\lgroup{ (x^{(1)},y_1) , (x^{(2)},y_2) ...(x^{(n)},y_n) } \rgroup
              其中第i个样本表示为：
                         (x^{(i)},y_i)=(x_1^{(i)},x_2^{(i)},...x_d^{(i)},y_i)
              线性模型通过建立线性组合进行预测。我们的假设函数为：
                          h_\theta(x_1,x_2,...x_d)=\theta_0+\theta_1x_1+\theta_2x_2+...+\theta_dx_d \qquad(1)
                                   其中\theta_0,\theta_1...\theta_d为模型参数。
              令x_0=1，x^{(i)}=(x_1^{(i)},x_2^{(i)},...x_d^{(i)})为行向量，令
                               X=\begin{bmatrix} x^{(0)}\\ x^{(1)}\\ \vdots\\ x^{(n)} \end{bmatrix}_{n \times d}， \theta=\begin{bmatrix} \theta_0\\ \theta_1\\ \vdots\\ \theta_d \end{bmatrix}_{d \times 1} ， Y=\begin{bmatrix} y_1\\ y_2\\ \vdots\\ y_n \end{bmatrix}_{n \times 1}
                              X为n \times d维矩阵,\theta为d \times 1维向量，则假设函数(1)式可表示为：
                                                                   h_\theta(X)=X\theta
                             损失函数为均方误差，即
                                            J(\theta)=\frac{1}{2} (X\theta - Y)^T (X\theta - Y)
                           最小二乘法求解参数，损失函数J(\theta)对\theta求导：
                                                  \nabla J(\theta)=2X^T(X\theta-Y)
                           令\nabla J(\theta)=0，得
                                                            \theta=(X^TX)^{-1}X^TY
 
二、算法优缺点
　　优点：
　　　　（1）思想简单，实现容易。建模迅速，对于小数据量、简单的关系很有效；
　　　　（2）是许多强大的非线性模型的基础。
　　　　（3）线性回归模型十分容易理解，结果具有很好的可解释性，有利于决策分析。
　　　　（4）蕴含机器学习中的很多重要思想。
　　　　（5）能解决回归问题。
　　缺点：
　　　　（1）对于非线性数据或者数据特征间具有相关性多项式回归难以建模.
　　　　（2）难以很好地表达高度复杂的数据。
三、代码实现
　　1.简单的线性回归算法
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

x=np.array([1,2,3,4,5],dtype=np.float)
y=np.array([1,3.0,2,3,5])
plt.scatter(x,y)

x_mean=np.mean(x)
y_mean=np.mean(y)
num=0.0
d=0.0
for x_i,y_i in zip(x,y):
    num+=(x_i-x_mean)*(y_i-y_mean)
    d+=(x_i-x_mean)**2
    a=num/d
    b=y_mean-a*x_mean
y_hat=a*x+b

plt.figure(2)
plt.scatter(x,y)
plt.plot(x,y_hat,c=\'r\')
x_predict=4.8
y_predict=a*x_predict+b
print(y_predict)
plt.scatter(x_predict,y_predict,c=\'b\',marker=\'+\')

  输出结果：

                          

　　2.基于sklearn的简单线性回归

import numpy as np 
import matplotlib.pyplot as plt  
from sklearn.linear_model import LinearRegression  # 线性回归


# 样本数据集，第一列为x，第二列为y，在x和y之间建立回归模型
data=[
    [0.067732,3.176513],[0.427810,3.816464],[0.995731,4.550095],[0.738336,4.256571],[0.981083,4.560815],
    [0.526171,3.929515],[0.378887,3.526170],[0.033859,3.156393],[0.132791,3.110301],[0.138306,3.149813],
    [0.247809,3.476346],[0.648270,4.119688],[0.731209,4.282233],[0.236833,3.486582],[0.969788,4.655492],
    [0.607492,3.965162],[0.358622,3.514900],[0.147846,3.125947],[0.637820,4.094115],[0.230372,3.476039],
    [0.070237,3.210610],[0.067154,3.190612],[0.925577,4.631504],[0.717733,4.295890],[0.015371,3.085028],
    [0.335070,3.448080],[0.040486,3.167440],[0.212575,3.364266],[0.617218,3.993482],[0.541196,3.891471]
]


#生成X和y矩阵
dataMat = np.array(data)
X = dataMat[:,0:1]   # 变量x
y = dataMat[:,1]   #变量y


# ========线性回归========
model = LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)
model.fit(X, y)   # 线性回归建模
print(\'系数矩阵:\n\',model.coef_)
print(\'线性回归模型:\n\',model)
# 使用模型预测
predicted = model.predict(X)

plt.scatter(X, y, marker=\'x\')
plt.plot(X, predicted,c=\'r\')

plt.xlabel("x")
plt.ylabel("y")

输出结果：

     系数矩阵:
     [ 1.6314263]
    线性回归模型:
     LinearRegression(copy_X=True, fit_intercept=True, n_jobs=1, normalize=False)

　　

 

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