【矩阵计算】矩阵乘法其一:基础符号和算法

时间:2024-02-21 08:37:28

矩阵符号

矩阵操作

向量符号

向量操作

Saxpy算法

Gaxpy算法

外积

矩阵分割和冒号符号

矩阵-矩阵乘法

复数矩阵

矩阵符号

如果用表示所有实数的集合,那么我们用表示所有的实数矩阵组成的向量空间,即:

其中,大写字母(如)表示矩阵,带下标的小写字母(如)表示矩阵中的元素。除了用表示矩阵中第行第列的元素之外,也可以用表示。

矩阵操作

矩阵转置transposition):

矩阵加法addition):

标量-矩阵乘法scalar-matrix multiplication):

矩阵-矩阵乘法matrix-matrix multiplication):

矩阵点乘pointwise multiplication):

矩阵点除pointwise division):

注意,要使矩阵点除有意义,则分母矩阵中不能有值为0的元素。

向量符号

我们用表示所有长度为的实数向量组成的向量空间,即:

其中,粗体小写字母(如)表示向量,带下标的小写字母(如)表示向量中的元素。除了用表示向量中第个元素之外,也可以用表示。

我们用表示列向量,用表示行向量,即:

向量操作

向量加法vector addition):

标量-向量乘法scalar-vector multiplication):

内积/点积inner/dot product):

向量点乘pointwise multiplication):

向量点除pointwise division):

注意,要使向量点除有意义,则分母向量中不能有值为0的元素。

Saxpy算法

“Saxpy”是“scalar a x plus y”的助记符,表示用的值更新的值。Saxpy算法用公式表示为:

注意这里的“”不是相等符号,而是赋值符号。

Gaxpy算法

如果把Saxpy算法中的标量换成矩阵,那么我们就能得到广义(generalized)Saxpy算法,即Gaxpy算法:

其中,并且

我们可以用两层for循环实现Gaxpy算法:

  for i=1:m
    for j=1:n
      y(i)=y(i)+A(i,j)x(j)
    end
  end

在这段代码中,外层的for循环遍历矩阵的每一行,内层的for循环遍历矩阵的每一列,像这样一行一行地遍历矩阵的Gaxpy算法也称为面向行的(row-oriented)Gaxpy算法。

当然,我们也可以一列一列地遍历矩阵,这样就有了面向列的(column-oriented)Gaxpy算法:

  for j=1:n
    for i=1:m
      y(i)=y(i)+A(i,j)x(j)
    end
  end

外积

不同于向量的内积,向量的外积表示如下:

其中,并且

和Gaxpy算法类似,外积也有面向行的外积:

  for i=1:m
    for j=1:n
      A(i,j)=A(i,j)+x(i)y(j)
    end
  end

面向列的外积:

  for j=1:n
    for i=1:m
      A(i,j)=A(i,j)+x(i)y(j)
    end
  end

矩阵分割和冒号符号

一个的矩阵可以看作是个长度为的行向量组成的:

同理,一个的矩阵也可以看作是个长度为的列向量组成的:

我们可以用表示矩阵的第个行向量(第行):

也可以用表示矩阵的第个列向量(第列):

在此基础上,我们可以重写面向行的Gaxpy算法:

  for i=1:m
    y(i)=y(i)+A(i,:)x
  end

可以看出,面向行的Gaxpy算法实际上是个内积操作加个标量加法操作

我们接着重写面向列的Gaxpy算法:

  for j=1:n
    y=y+x(j)A(:,j)
  end

可以看出,面向列的Gaxpy算法实际上是个标量-向量乘法操作加个向量加法操作

对于外积,我们先重写面向行的外积:

  for i=1:m
    A(i,:)=A(i,:)+x(i)y
  end

可以看出,面向行的外积实际上是个标量-向量乘法操作加个行向量加法操作

我们接着重写面向列的外积:

  for j=1:n
    A(:,j)=A(:,j)+y(j)x
  end

可以看出,面向列的外积实际上是个标量-向量乘法操作加个列向量加法操作

矩阵-矩阵乘法

我们把矩阵-矩阵乘法写成用更新的形式,即:

其中,并且

我们把矩阵-矩阵乘法用三层for循环展开得到:

  for i=1:m
    for j=1:n
      for k=1:r
        C(i,j)=C(i,j)+A(i,k)B(k,j)
      end
    end
  end

可以看出,矩阵-矩阵乘法实际上是个标量乘法操作加个标量加法操作

如果我们只展开外面两层for循环,则有:

  for i=1:m
    for j=1:n
      C(i,j)=C(i,j)+A(i,:)B(:,j)
    end
  end

可以看出,矩阵-矩阵乘法实际上是个内积操作加个标量加法操作

如果我们只展开最外层的for循环,则有:

  for i=1:m
    C(i,:)=C(i,:)+A(i,:)B
  end

可以看出,矩阵-矩阵乘法实际上是个向量-矩阵乘法操作加个向量加法操作

虽然改变三层for循环的前后顺序并不影响矩阵-矩阵乘法的结果,但是可以方便我们从不同角度理解矩阵-矩阵乘法。这里只列出了结果,具体过程可以参考上述方法。

循环
顺序
两层循环一层循环两层循环对应的
数据访问方式
i j k 内积 向量-矩阵乘法 从A取行,从B取列
j i k 内积 矩阵-向量乘法 从A取行,从B取列
i k j Saxpy 面向行的Gaxpy 从B取行,从C取行
j k i Saxpy 面向列的Gaxpy 从A取列,从C取列
k i j Saxpy 面向行的外积 从B取行,从C取行
k j i Saxpy 面向列的外积 从A取列,从C取列

复数矩阵

和实数相对的是复数,因此我们接下来介绍复数矩阵和复数向量。

我们用表示所有复数组成的集合,用表示所有的复数矩阵构成的向量空间,并且用表示所有长度为的复数向量构成的向量空间。

如果矩阵,那么我们用分别表示矩阵A的实部和虚部,即:

虽然实数矩阵的大部分操作都适用于复数矩阵,但是也有一些操作不适用于复数矩阵。比如:

矩阵共轭conjugate)矩阵

其中,两个实部相等,虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number)。

复数矩阵转置transposition)是共轭转置:

两个复数向量的内积inner product):

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