0 一张图
1 卷积和拉普拉斯变换的关系
频域上：Y(s)=X(s)H(s)
时域上：对 Y(s)=X(s)H(s) 做拉普拉斯逆变换得 y(t)=x(t)∗h(t)
即拉普拉斯变换与卷积存在如下关系：
对两个时域函数的卷积做拉普拉斯变换，等于相应频域函数的乘积。
对两个频域函数的乘积做拉普拉斯逆变换，等于对应两个时域函数的卷积。
2 上述结论的证明
交换积分次序。
怎么想的：
观察想证出的结果，去贴合它的样子。待证式子的等号右边是关于x和g的两个独立积分乘积的形式，两个积分限均为0到∞，但现有的二重积分的两个积分限不满足。又想到换元，但判断在这步直接换元也凑不出∞。画积分区域，发现限制积分限的是微分的方式，也体现在积分次序上。所以，当交换积分次序，把两端均受限的横条微元改为一端开放的竖条微元，就得到“∞”。
换元。
怎么想的：
想把x( )和g( )拆开到两个积分号里。使( )里的变量无交叉，彼此可视为常数，x( )和g( )就能提到对方的积分号外面。明显g(t-τ)里有两个变量，换元令u=t-τ。
或者，看到dt积分的积分限不是0~∞的理想形式，想把下限τ变成0，换元。t∈[τ,∞]→u∈[0,∞]，u=t-τ。
3 线性时不变系统的冲激响应与卷积
线性时不变的含义：
系统的输入、输出、传递函数：
由上述拉普拉斯逆变换和卷积的关系有：
一个线性的弹簧阻尼系统，当被施加短暂外力时，位移阻尼振荡。
而系统连续的输入，为了感受，可以近似看作若干个长度为ΔT的短时恒定的输入。
这个长方块所谓的短时恒定输入，是面积不为1的冲激函数。（是“对于一个线性时不变系统，冲激响应h(t)可以完全地定义系统”这件事的过渡理解形式，其实没必要摘出来看。）由时不变，由线性，系统的输入和输出如下对应：
这个A就体现长方形的面积。
ΔTf(iΔT)hΔ(t-iΔT)表示面积为ΔTf(iΔT)的冲击输入在延迟了iΔT时间时的响应。
对单独的一个ΔT长度的冲激函数，系统有一个冲激响应。这是一个线性系统，由叠加原理，任一时刻如图中黑色竖线处，系统的响应等于这一时刻之前经历过的所有短时恒定输入在此时的效果的叠加。
取极限ΔT→0时，加和变成积分
，时刻iΔT记为τ，则ΔT变成时间微元dτ，离散变成连续。
结论：输出函数等于输入函数与冲激响应的卷积。
时域和频域给人的感觉就像微积分里的积分和微分，但频率并不是时间的微元。关于为什么输入乘上传递函数就等于输出，让我舒适的理解方式是借助认识乘积与卷积：冲激是事情发生的驱动力，h(s)是承载输出的介质，它是传送带，f(s)是指导，是工人，二者一起组成输出信号的流水线。它们直接相乘，说明在频域上这件事能以几何的视角理解——在频域坐标系里，“坐标”随意一处都有一个冲激函数造成的响应，给这些响应加权，就是输出，这个加权动作就是典型的几何乘。这是在频域的视角，在时域，如果硬要对输出取dt的微分，它的每一个微元都涵盖从时间的开始尽头到现在的一切影响，所以说“拉普拉斯变换积分下限取-∞这件事应该交给哲学家”。