Python矩阵分解之QR分解

时间：2022-04-12 01:20:58

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QR和RQ分解

记 A A A为方阵， P , Q P, Q P,Q分别为正交单位阵和上三角阵，则形如 A = Q R A=QR A=QR的分解为QR分解；形如 A = R Q A=RQ A=RQ的分解为RQ分解。

在scipy.linalg中，为二者提供了相同的参数，除了待分解矩阵a之外，还有下列参数

  • overwrite_a 默认为False，为True时，将在矩阵分解时覆盖a的值
  • lwork 工作数组的尺寸
  • mode 默认'full'，用于调整返回值，可选4个参数
    • 'full'：返回 Q Q Q和 R R R
    • 'r'：返回 R R R
    • 'economic'：返回 Q Q Q和 R R R，但是合并在一起
    • 'raw'：返回 Q Q Q和 T A U TAU TAU矩阵
  • pivoting 默认False，当为True时，计算 A P = Q R AP=QR AP=QR，但要求选择合适的 P P P，从而让 R R R的对角线非递增
  • check_finite 默认为True，表示检查是否有限
import numpy as np
import scipy.linalg as sl
A = np.random.rand(3,3)
q1,r1 = sl.qr(A)
r2,qr = sl.rq(A)

结果得到 q 1 q_1 q1​和 q 2 q_2 q2​分别为，可见二者并不相等。

q 1 = [ − 0.659450021160935 0.749759308692653 0.0546502389707366 − 0.180811070132312 − 0.0876283110599659 − 0.979606367893955 − 0.729680085043063 − 0.65588280822834 0.193351274529173 ] q 2 = [ 0.377636504144627 − 0.925556186272606 0.0271370003857254 − 0.0674267508884556 0.00174208653633345 0.99772270616596 − 0.923495697879558 − 0.378606274627098 − 0.0617493709355736 ] q_1 = \left[\begin{matrix}-0.659450021160935 & 0.749759308692653 & 0.0546502389707366\\-0.180811070132312 & -0.0876283110599659 & -0.979606367893955\\-0.729680085043063 & -0.65588280822834 & 0.193351274529173\end{matrix}\right]\\ q_2=\left[\begin{matrix}0.377636504144627 & -0.925556186272606 & 0.0271370003857254\\-0.0674267508884556 & 0.00174208653633345 & 0.99772270616596\\-0.923495697879558 & -0.378606274627098 & -0.0617493709355736\end{matrix}\right] q1​= ​−0.659450021160935−0.180811070132312−0.729680085043063​0.749759308692653−0.0876283110599659−0.65588280822834​0.0546502389707366−0.9796063678939550.193351274529173​ ​q2​= ​0.377636504144627−0.0674267508884556−0.923495697879558​−0.9255561862726060.00174208653633345−0.378606274627098​0.02713700038572540.99772270616596−0.0617493709355736​ ​

但是 q 1 r 1 q_1r_1 q1​r1​的确是等于 r 2 q 2 r_2q_2 r2​q2​的。

>>> q1@r1
array([[0.81677429, 0.63368526, 0.84867074],
       [0.22394697, 0.10848293, 0.58357567],
       [0.90375906, 0.37051483, 0.06042968]])
>>> q2@r2
array([[-0.09631134, -0.22572231, -0.15900946],
       [ 0.01719633, -0.05246553, -0.90632485],
       [ 0.23552571, -0.94691613,  1.13446376]])
>>> r2@q2
array([[0.81677429, 0.63368526, 0.84867074],
       [0.22394697, 0.10848293, 0.58357567],
       [0.90375906, 0.37051483, 0.06042968]])

其他函数

除了qr和rq这两个函数外，scipy.linalg还提供了其他与qr分解相关的函数。

qr_multiply(a,c)，在对 A A A进行 Q R QR QR分解之后，返回 C Q CQ CQ，其参数中，overwrite_a, overwrite_c, privoting与qr函数中的作用相同，或可类比。此外，还有其他两个参数

  • mode 可选left或right，分别表示返回 Q C QC QC或 C Q CQ CQ
  • conjugate 为True时，返回Q的复共轭

qr_update(Q, R, u, v)，若 A = Q R A=QR A=QR是QR分解，则返回 A + u v T A+uv^T A+uvT的QR分解。此函数也支持overwrite_qruv, check_finite参数。

qr_delete(Q,R,k,p)和qr_insert(Q,R,u,k)分别用于矩阵的删减和增添，对于 A = Q R A=QR A=QR而言，前者从第 k k k行/列删掉 p p p行/列；后者在第 k k k行/列插入 U U U。

这两个函数均支持check_finite，覆写开关分别是overwrite_qr和overwrite_qru，通过which来调整插入/删除的是行还是列，即which='row'时，针对行操作，为'cols'时，针对列操作。

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