逻辑回归是一种经典的分类算法，用于将一个输入变量映射到一个二元分类输出变量。其基本思想是使用一个函数将输入变量映射到一个概率值，该概率值表示该输入变量属于某个类别的概率。这个函数被称为“sigmoid函数”或“逻辑函数”。
逻辑回归模型的核心是一个线性模型，它将输入变量的线性组合作为输入，并使用sigmoid函数将输出转换为概率值。模型可以使用最大似然估计或随机梯度下降等方法进行训练。
逻辑回归有许多应用场景，例如广告点击率预测、信用评估、疾病预测等。它在实践中非常流行，因为它计算简单、解释容易、参数易于调整，并且通常具有良好的性能。
建立模型
逻辑回归模型的基本形式为：
其中，
P
(
y
=
1
∣
x
)
P(y=1|x)
P(y=1∣x)表示在给定输入
x
x
x的条件下，输出
y
=
1
y=1
y=1的概率；
z
=
β
0
+
β
1
x
1
+
β
2
x
2
+
.
.
.
+
β
p
x
p
z=\beta_0+\beta_1x_1+\beta_2x_2+...+\beta_px_p
z=β0+β1x1+β2x2+...+βpxp表示模型的线性部分，也称为logit函数；
β
0
,
β
1
,
.
.
.
,
β
p
\beta_0,\beta_1,...,\beta_p
β0,β1,...,βp为模型的参数，需要通过训练数据来求解。
定义损失函数
逻辑回归模型的损失函数通常采用交叉熵损失函数。对于二分类问题，交叉熵损失函数可以定义为：
其中，
m
m
m表示训练样本数；
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i)表示第
i
i
i个样本的真实标签；
h
θ
(
x
(
i
)
)
h_\theta(x^{(i)})
hθ(x(i))表示使用模型参数
θ
\theta
θ预测第
i
i
i个样本的输出；
log
\log
log表示自然对数。
求解最优解
通常使用梯度下降等优化算法来求解最优解。具体地，首先随机初始化模型参数
θ
\theta
θ，然后计算损失函数关于参数
θ
\theta
θ的梯度，使用梯度下降算法不断迭代更新参数，直到损失函数收敛或达到预定的迭代次数为止。梯度下降的更新公式为：
其中， α \alpha α表示学习率，控制每一次参数更新的步长。求解梯度的具体形式如下：
通过不断迭代更新模型参数，使得模型的损失函数不断减小，最终得到一个较为合理的模型。