最大流dinic算法分析

Dinic算法是一种比较容易实现的，相对比较快的最大流算法。
今天看了一下它的原理，发现的确很牛逼。

求最大流的本质，就是不停的寻找增广路径。直到找不到增广路径为止。
对于这个一般性的过程，Dinic算法的优化如下：

（1）
Dinic算法首先对图进行一次BFS，然后在BFS生成的层次图中进行多次DFS。
层次图的意思就是，只有在BFS树中深度相差1的节点才是连接的。
这就切断了原有的图中的许多不必要的连接。很牛逼！
这是需要证明的，估计证明也很复杂。

（2）
除此之外，每次DFS完后，会找到路径中容量最小的一条边。
在这条边之前的路径的容量是大于等于这条边的容量的。
那么从这条边之前的点，可能引发出别的增广路径。
比如说 S -> b -> c -> d -> T 是一条增广路径，容量最小的边是 b -> c。
可能存在一条 S -> b -> e -> f -> g -> T 这样的增广路径。
这样的话，在找到第一条增广路径后，只需要回溯到 b 点，就可以继续找下去了。
这样做的好处是，避免了找到一条路径就从头开始寻找另外一条的开销。
也就是再次从 S 寻找到 b 的开销。
这个过程看似复杂，但是代码实现起来很优雅，因为它的本质就是回溯！

（3）
在同一次 DFS 中。如果从一个点引发不出任何的增广路径，就将这个点在层次图中抹去。

而这样一个算法，实现起来居然只需要100行。太吊了。
我的代码是参考别人的代码写的。可以用 POJ 1273 测试。

#include  < stdio.h >
#include  < stdlib.h >
#include  < string .h >
#include  < limits.h >

#define  MAX_VETXS 1024
#define  MAX_EDGES 1024

int  E[MAX_EDGES], next[MAX_EDGES], C[MAX_EDGES], M;
int  V[MAX_VETXS], L[MAX_VETXS], Q[MAX_VETXS], N;
int  S, T;

void  __insert( int  from,  int  to,  int  cap)
{
    M++;
    C[M] = cap;
    E[M] = to;
    next[M] = V[from];
    V[from] = M;
}

void  insert( int  from,  int  to,  int  cap)
{
    __insert(from, to, cap);
    __insert(to, from, 0);
}

int  bfs()
{
    int h, t, e, u, v;

    h = t = 0;
    Q[t++] = S;
    memset(L, 0, N*sizeof(L[0]));
    L[S] = 1;
    while (h != t) {
        u = Q[h++];
        for (e = V[u]; e; e = next[e]) {
            v = E[e];
            if (!L[v] && C[e] > 0) {
                L[v] = L[u] + 1;
                Q[t++] = v;
            }
        }
    }

    return L[T];
}

int  dfs()
{
    int t, u, v, e, i, f, r, back;

    t = 1;
    r = 0;

    while (t) {
        u = (t == 1) ? S : E[Q[t - 1]];
        if (u == T) {
            f = INT_MAX;
            for (i = 1; i < t; i++) {
                e = Q[i];
                if (C[e] < f) {
                    f = C[e];
                    back = i;
                }
            }
            for (i = 1; i < t; i++) {
                e = Q[i];
                C[e] -= f;
                C[e^1] += f;
            }
            r += f;
            t = back;
        } else {
            for (e = V[u]; e; e = next[e]) {
                v = E[e];
                if (L[v] == L[u] + 1 && C[e] > 0)
                    break;
            }
            if (e)
                Q[t++] = e;
            else {
                t--;
                L[u] = 0;
            }
        }
    }

    return r;
}

int  dinic()
{
    int f = 0;

    while (bfs())
        f += dfs();

    return f;
}

int  main()
{
    int n, m, a, b, c, i;

    freopen("d:\\in.txt", "r", stdin);

    while (scanf("%d%d", &n, &m) != EOF) {
        S = 0;
        T = m - 1;
        N = m;
        memset(V, 0, N*sizeof(V[0]));
        M = 2;
        for (i = 0; i < n; i++) {
            scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
            insert(a - 1, b - 1, c);
        }
        printf("%d\n", dinic());
    }

    return 0;
}