[问题2014A07] 解答
我们分三步进行证明.
\(1^\circ\) 先证 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关. 用反证法, 设 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 \(\alpha_1\neq 0\), 故 \(\alpha_2\) 可表示为 \(\alpha_1\) 的线性组合, 即存在 \(k\in\mathbb{Q}\), 使得 \(\alpha_2=k\alpha_1\). 带入题中条件可得 \[\alpha_3=k^2\alpha_1,\,\,\alpha_4=k^3\alpha_1,\,\,A\alpha_4=k^4\alpha_1,\] 从而有 \[(k^4+k^3+k^2+k+1)\alpha_1=0.\] 因为 \(\alpha_1\neq 0\), 故 \(k\) 满足方程 \[k^4+k^3+k^2+k+1=0,\] 这与 \(k\) 为有理数相矛盾.
\(2^\circ\) 再证 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关. 用反证法, 设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关, 故 \(\alpha_3\) 可表示为 \(\alpha_1,\alpha_2\) 的线性组合, 即存在 \(k,l\in\mathbb{Q}\), 使得 \(\alpha_3=k\alpha_1+l\alpha_2\). 带入题中条件可得 \[\alpha_4=A\alpha_3=kl\alpha_1+(k+l)\alpha_2,\] \begin{eqnarray*}A\alpha_4&=&klA\alpha_1+(k+l)A\alpha_2=k(k+l)\alpha_1+(kl+l(k+l))\alpha_2 \\ &=& -\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3-\alpha_4=(-1-k-kl)\alpha_1+(-1-l-k-l)\alpha_2. \end{eqnarray*} 由 \(\alpha_1,\alpha_2\) 线性无关可得 \[k(k+l)=-1-k-kl,\,\,kl+l(k+l)=-1-l-k-l.\] 经过化简知 \(k\) 满足方程 \[3k^4+2k^3+k^2+2k-1=0,\] 但由复旦高代教材第 236 页定理 5.7.2 知上述方程没有有理根, 这与 \(k\) 为有理数相矛盾.
\(3^\circ\) 最后证明 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 线性无关. 用反证法, 设 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 线性相关, 我们来推出矛盾. 因为 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关, 故 \(\alpha_4\) 可表示为 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 的线性组合, 即存在 \(k,l,r\in\mathbb{Q}\), 使得 \(\alpha_4=k\alpha_1+l\alpha_2+r\alpha_3\). 带入题中条件可得 \begin{eqnarray*}A\alpha_4&=&kA\alpha_1+lA\alpha_2+rA\alpha_3=kr\alpha_1+(k+lr)\alpha_2+(l+r^2)\alpha_3 \\ &=& -\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3-\alpha_4=(-1-k)\alpha_1+(-1-l)\alpha_2+(-1-r)\alpha_3. \end{eqnarray*} 由 \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3\) 线性无关可得 \[kr=-1-k,\,\,k+lr=-1-l,\,\,l+r^2=-1-r.\] 经过化简知 \(k\) 满足方程 \[k^4+k^3+k^2+k+1=0,\] 这与 \(k\) 为有理数相矛盾.
综上所述, \(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\) 是 \(\mathbb{Q}^4\) 的一组基. \(\Box\)
注 一般的, 我们还可以证明如下推广. 显然, 此时若按上述方法证明将不再可行. 在学了高代 II 中的 Cayley-Hamilton 定理之后, 我们将给出一个相当简洁的证明.
推广 设 \(A\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 \(p-1\) 阶方阵 (其中 \(p\) 为素数), \(\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{p-1}\) 是 \(\mathbb{Q}\) 上的 \(p-1\) 维列向量, 满足: \[ A\alpha_1=\alpha_2,\,\,A\alpha_2=\alpha_3,\,\,\cdots,\,\,A\alpha_{p-1}=-\alpha_1-\alpha_2-\cdots-\alpha_{p-1}.\] 证明: 若 \(\alpha_1\neq 0\), 则 \(\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_{p-1}\}\) 是有理数域 \(\mathbb{Q}\) 上的 \(p-1\) 维列向量空间 \(\mathbb{Q}^{p-1}\) 的一组基.