定义：对于一个数列
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7da_i*x%5ei?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
为了对这个?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
举一个简单的例子
例1
对于数列
他的生成函数为%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5ei?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5ei%3da_1*%5cfrac%7b1-x%5en%7d%7b1-x%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
这里由于
所以当
那么
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5ei%3da_1*%5cfrac%7b1-x%5en%7d%7b1-x%7d%3d%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
例2
对于数列
生成函数
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7db%5ei*x%5ei?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
就是上面那个的比例系数放大到b
那么就是
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7db%5ei*x%5ei%3d%5cfrac%7b1%7d%7b1-bx%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
例3
对于数列
生成函数
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5e%7b2i%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
就是比例系数放大到
可以得出
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5e%7b2i%7d?w=700&webp=1JTNkJTVjZnJhYyU3YjElN2QlN2IxLXglNWUyJTdk "母函数入门笔记（施工中…")
类比可以得到
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5e%7bki%7d%3d%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%5ek%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
例4
然后是一个很鬼的
对于数列
我们考虑这个东西是在无限定义下的
所以%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7d(i%2b1)x%5e%7bi%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
%3d(%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5ei)%5e2%3d%5cfrac%7b1%7d%7b(1-x)%5e2%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
同时可以扩展到
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7d%5cbegin%7bpmatrix%7di%2bm-1%5c%5cm-1%5cend%7bpmatrix%7dx%5e%7bi%7d%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7d(%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%7d)%5em?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
例5
然后是一个稍微麻烦点的
对于数列
然后为了把这个东西化简成我们知道的。。就把它用导数公式乱套套
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7di%5e2x%5ei%3d(%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dnx%5en)'*x?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
x%5en)*x)'*x%3d(%5cfrac%7b1%7d%7b(1-x)%5e2%7d*x)'*x%3d%5cfrac%7bx(x%2b1)%7d%7b(1-x)%5e3%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
一个实例
找规律超快的
我们分四个水果的情况求下生成函数
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5e%7b2i%7d%3d%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%5e2%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
%3d%5csum_%7bi%3d0%7d%5e%7b%5cinfty%7dx%5e%7b5i%7d%3d%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%5e5%7d?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
%3d1%2bx%2bx%5e2%2bx%5e3%2bx%5e4?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
%3d1%2bx?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
然后四个东西乘起来
%3d%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%5e2%7d*%5cfrac%7b1%7d%7b1-x%5e5%7d*(1%2bx%2bx%5e2%2bx%5e3%2bx%5e4)*(1%2bx)?w=700&webp=1 "母函数入门笔记（施工中…")
然后做完了
为了拯救大家的工作量 我们打开mathematica
那么源问题答案就是
相似例题：BZOJ3028:食物