bzoj 3669: [Noi2014]魔法森林 (LCT）

链接：https://www.lydsy.com/JudgeOnline/problem.php?id=3669

题面：

3669: [Noi2014]魔法森林

Time Limit: 30 Sec  Memory Limit: 512 MB
Submit: 3928  Solved: 2524
[Submit][Status][Discuss]

Description

为了得到书法大家的真传，小E同学下定决心去拜访住在魔法森林中的隐士。魔法森林可以被看成一个包含个N节点M条边的无向图，节点标号为1..N，边标号为1..M。初始时小E同学在号节点1，隐士则住在号节点N。小E需要通过这一片魔法森林，才能够拜访到隐士。

魔法森林中居住了一些妖怪。每当有人经过一条边的时候，这条边上的妖怪就会对其发起攻击。幸运的是，在号节点住着两种守护精灵：A型守护精灵与B型守护精灵。小E可以借助它们的力量，达到自己的目的。

只要小E带上足够多的守护精灵，妖怪们就不会发起攻击了。具体来说，无向图中的每一条边Ei包含两个权值Ai与Bi。若身上携带的A型守护精灵个数不少于Ai，且B型守护精灵个数不少于Bi，这条边上的妖怪就不会对通过这条边的人发起攻击。当且仅当通过这片魔法森林的过程中没有任意一条边的妖怪向小E发起攻击，他才能成功找到隐士。

由于携带守护精灵是一件非常麻烦的事，小E想要知道，要能够成功拜访到隐士，最少需要携带守护精灵的总个数。守护精灵的总个数为A型守护精灵的个数与B型守护精灵的个数之和。

Input

第1行包含两个整数N,M，表示无向图共有N个节点，M条边。 接下来M行，第行包含4个正整数Xi,Yi,Ai,Bi，描述第i条无向边。其中Xi与Yi为该边两个端点的标号，Ai与Bi的含义如题所述。 注意数据中可能包含重边与自环。

Output

输出一行一个整数：如果小E可以成功拜访到隐士，输出小E最少需要携带的守护精灵的总个数；如果无论如何小E都无法拜访到隐士，输出“-1”（不含引号）。

Sample Input

【输入样例1】
4 5
1 2 19 1
2 3 8 12
2 4 12 15
1 3 17 8
3 4 1 17

【输入样例2】

3 1
1 2 1 1

Sample Output

【输出样例1】

32
【样例说明1】
如果小E走路径1→2→4，需要携带19+15=34个守护精灵；
如果小E走路径1→3→4，需要携带17+17=34个守护精灵；
如果小E走路径1→2→3→4，需要携带19+17=36个守护精灵；
如果小E走路径1→3→2→4，需要携带17+15=32个守护精灵。
综上所述，小E最少需要携带32个守护精灵。

【输出样例2】

-1
【样例说明2】
小E无法从1号节点到达3号节点，故输出-1。

思路：

首先要求从1到n路径上属性a,b加起来最小的最大值，我们可以将属性a从小到大排序，根据属性b建立最小生成树，如果当前两点u,v联通，那么比较当前边的b值和之前的b值谁更小，如果当前边是更优的选择的话，就把之前的边断掉连上当前的边，然后更新下从1-n的最大值，维护最小的。

LCT边权的写法和树链剖分是不一样的，我们可以建一个新点分别连接u,v，这个点的权值就是这条边的权值，查找两点路径的边权最大值时就转化比较路径上所有点的最大值，然后就可以用上面的写法维护。

实现代码;

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int M = 3e5+;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
int n,m,sz,rt,c[M][],fa[M],val[M],mx[M],st[M],top;
bool rev[M];

inline void up(int x){
    int l = c[x][],r = c[x][];
    mx[x] = x;
    if(l&&val[mx[l]]>val[mx[x]]) mx[x] = mx[l];
    if(r&&val[mx[r]]>val[mx[x]]) mx[x] = mx[r];
}

inline void pushrev(int x){
    int t = c[x][];
    c[x][] = c[x][]; c[x][] = t;
    rev[x] ^= ;
}

inline void pushdown(int x){
    if(rev[x]){
        int l = c[x][],r = c[x][];
        if(l) pushrev(l);
        if(r) pushrev(r);
        rev[x] = ;
    }
}

inline bool nroot(int x){  //判断一个点是否为一个splay的根
    return c[fa[x]][]==x||c[fa[x]][] == x;
}

inline void rotate(int x){
    int y = fa[x],z = fa[y],k = c[y][] == x;
    int w = c[x][!k];
    if(nroot(y)) c[z][c[z][]==y]=x;
    c[x][!k] = y; c[y][k] = w;
    if(w) fa[w] = y; fa[y] = x; fa[x] = z;
    up(y);
}

inline void splay(int x){
    int y = x,z = ;
    st[++z] = y;
    while(nroot(y)) st[++z] = y = fa[y];
    while(z) pushdown(st[z--]);
    while(nroot(x)){
        y = fa[x];z = fa[y];
        if(nroot(y))
            rotate((c[y][]==x)^(c[z][]==y)?x:y);
        rotate(x);
    }
    up(x);
}

//打通根节点到指定节点的实链，使得一条中序遍历从根开始以指定点结束的splay出现
inline void access(int x){
    for(int y = ;x;y = x,x = fa[x])
        splay(x),c[x][]=y,up(x);
}

inline void makeroot(int x){  //换根，让指定点成为原树的根
    access(x); splay(x); pushrev(x);
}

inline int findroot(int x){  //寻找x所在原树的树根
    access(x); splay(x);
    while(c[x][]) pushdown(x),x = c[x][];
    splay(x);
    return x;
}

inline void split(int x,int y){  //拉出x-y的路径成为一个splay
    makeroot(x); access(y); splay(y);
}

inline void cut(int x,int y){   //断开边
    makeroot(x);
    if(findroot(y) == x&&fa[y] == x&&!c[y][]){
        fa[y] = c[x][] = ;
        up(x);
    }
}

inline void link(int x,int y){   //连接边
    makeroot(x);
    if(findroot(y)!=x) fa[x] = y;
}

inline int query(int u,int v){
    split(u,v);
    return mx[v];
}

struct node{
    int u,v,x,y;
}e[M];

bool cmp(node a,node b){
    if(a.x == b.x) return a.y < b.y;
    return a.x < b.x;
}

int main()
{
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for(int i = ;i <= m;i ++)
        scanf("%d%d%d%d",&e[i].u,&e[i].v,&e[i].x,&e[i].y);
    sort(e+,e++m,cmp);
    int ans = inf;
    for(int i = ;i <= m;i ++){
        int u = e[i].u,v = e[i].v,x = e[i].x,y = e[i].y;
        if(findroot(u)==findroot(v)){
            int k = query(u,v);
            if(val[k] > y)  //有更小的边权出现
                cut(e[k-n].u,k),cut(e[k-n].v,k);
            else continue ;
        }
        val[i+n] = y;  mx[i+n] = i+n;
        link(u,i+n); link(v,i+n);
        if(findroot() == findroot(n))
            ans = min(ans,x+val[query(,n)]);
    }
    if(ans == inf) ans = -;
    printf("%d\n",ans);
    return ;
}