Matlab 多项式的根求解

时间:2022-01-10 00:41:20

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分享一下通过多种不同的方法计算多项式的根。

  • 数值根
  • 使用代换法求根
  • 特定区间内的根
  • 符号根

数值根

​roots​​ 函数用于计算系数向量表示的单变量多项式的根。

例如,创建一个向量以表示多项式 x2x−6,然后计算多项式的根。

p = [1 -1 -6];
r = roots(p)
r =


3
-2

按照惯例,MATLAB以列向量形式返回这些根。

​poly​​ 函数将这些根重新转换为多项式系数。对向量执行运算时,​​poly​​ 和 ​​roots​​ 为反函数,因此 ​​poly(roots(p))​​ 返回 ​​p​​(取决于舍入误差、排序和缩放)。

p2 = poly(r)
p2 =


1 -1 -6

对矩阵执行运算时,poly 函数会计算矩阵的特征多项式。特征多项式的根是矩阵的特征值。因此,roots(poly(A)) 和 eig(A) 返回相同的答案(取决于舍入误差、排序和缩放)。

使用代换法求根

通过使用代换法简化方程来对涉及三角函数的多项式方程求解。一个变量的生成多项式不再包含任何三角函数。

例如,计算θ用于对该方程进行求解的值

3cos2(θ)−sin(θ)+3=0.

利用 cos2(θ)=1−sin2(θ),完全以正弦函数的方式表示该方程:

−3sin2(θ)−sin(θ)+6=0.

利用代换法 x=sin(θ),将该方程表示为简单的多项式方程:

−3x2x+6=0.

创建一个向量以表示多项式。

p = [-3 -1 6];

求多项式的根。

r = roots(p)
r = 2×1


-1.5907
1.2573

要撤消代换法,请使用 θ=sin−1(x)。​​asin​​ 函数计算反正弦。

theta = asin(r)
theta = 2×1 complex


-1.5708 + 1.0395i
1.5708 - 0.7028i

验证 ​​theta​​ 中的元素是否为θ中用来对原始方程求解的值(在舍入误差内)。

f = @(Z) 3*cos(Z).^2 - sin(Z) + 3;
f(theta)
ans = 2×1 complex
1.0e-14 *


-0.0888 + 0.0647i
0.2665 + 0.0399i

特定区间内的根

使用 ​​fzero​​ 函数求多项式在特定区间内的根。在其他使用情况下,如果要绘制多项式并想要知道特定根的值,则这种方法很适用。

例如,创建一个函数句柄以表示多项式 3x7+4x6+2x5+4x4+x3+5x2

p = @(x) 3*x.^7 + 4*x.^6 + 2*x.^5 + 4*x.^4 + x.^3 + 5*x.^2;

在区间 [−2,1]

x = -2:0.1:1;
plot(x,p(x))
ylim([-100 50])
grid on
hold on

Matlab 多项式的根求解

从绘图中,多项式在 ​​0​​ 和另一个接近 ​​-1.5​​ 的位置各有一个简单的根。使用 ​​fzero​​ 计算并绘制接近 ​​-1.5​​ 的根。

Z = fzero(p, -1.5)
Z = -1.6056
plot(Z,p(Z),'r*')

Matlab 多项式的根求解

符号根

如果你有 Symbolic Math Toolbox™,则还会提供以符号形式计算多项式的其他选项。一种方式是使用 ​​solve​​ (Symbolic Math Toolbox)

syms x
s = solve(x^2-x-6)
s =

-2
3

另一种方式是使用 ​​factor​​ (Symbolic Math Toolbox)

F = factor(x^2-x-6)
F =

[ x + 2, x - 3]