LA@二次型规范形@正定

文章目录

• ​​规范形​​

• ​​规范形的矩阵​​
• ​​实对称阵和相互合同的充要条件​​
• ​​惯性定理​​

• ​​惯性指数​​
• ​​惯性指数和特征值个数​​

• ​​二次型规范形的确定方法​​

• ​​正定二次型​​

• ​​可逆线性变换不改变二次型的正定性​​
• ​​二次型是正定的充要条件​​
• ​​正定二次型的等价命题​​
• ​​正定矩阵的性质​​

• ​​k阶顺序主子式​​

• ​​正定@半正定@负定@半负定​​

• ​​不定二次型​​
• ​​负定二次型的等价命题​​

规范形

• 如果可以通过线性变换化为

• 
• 称N为的规范形

规范形的矩阵

• 

• 任意一个秩为r实对称阵A和对角阵B合同

实对称阵和相互合同的充要条件

• 实对称阵有相同的秩和正惯性指数p是相互合同的充要条件

惯性定理

• 同一个二次型的标准形不唯一,但是它们具有相同的正负平方项个数
• 任何一个二次型都可以通过可逆线性变换化为规范/形,规范形具有唯一性(p,r由二次型f唯一确定)

惯性指数

• 二次型的规范形N中,
• 称为正惯性指数
• 称为负惯性指数
• 称为符号差
• 正负惯性指数统称惯性指数

惯性指数和特征值个数

• 正(负)惯性指数是二次型矩阵A的正(负)特征值个数

二次型规范形的确定方法

• 计算二次型的标准形

• 

• 做可逆线性变换

• 

正定二次型

• 设实二次形,如果对于任意的满足

• 
• 则称该二次型为正定二次型
• 称是正定矩阵

可逆线性变换不改变二次型的正定性

• 证明:

• 对于可逆矩阵C,和向量,有

• 因为
• 根据Cramer法则,齐次线性方程只有零解
• 而,因此

• 设线性变换将标准化为

• 
• 其中,为n维列向量,

• 为例证明是正定的,就是要证明

• 
• 记,前面已经讨论过,从而列向量
• (由的正定性)
• 从而,二次型依然是正定的

二次型是正定的充要条件

• n元实二次型是正定的当且仅当的正惯性指数为n(规范形系数全为1)
• 另一种等价描述:二次型是正定的当且仅当它的标准形所有系数
• 证明:

• 设可逆线性变换将二次型化为标准形

• 设标准形系数,则
• 由C可逆,则也可逆,得对于任意,
• 设,则
• 因此,是正定的,那么和有相同的正定性,因而也是正定的

• 设正定矩阵的标准形的某个系数

• 如果能够证明这种情况下是不正定的,则相等于证明了正定矩阵的标准形的所有系数
• 证明导致是非正定的,可以举一个反例列向量使得不满足正定要求
• 取

• 
• 
• 
• 也可把描述为

• ,由于,从而,这使得不满足恒为正(大于0)的条件,从而是非正定的,也就非正定
• 因此,导致是非正定的换句话说(逆否命题),是正定必有

正定二次型的等价命题

• 是正定二次型A是正定矩阵

• 这条命题作为基本的真命题,用于推到其他等价命题

• 矩阵A的特征值均大于0

• 在讨论标准化的时候,提到定理一定可以被一个正交矩阵Q正交线性变换为形如的标准形

• 

• 其中是对称阵的n个特征值

• 又由于对于正定二次型,它的标准形的所有系数一定为正数,从而

• A和同阶单位阵合同

• 正定二次型的(规范形N)正惯性指数p=n,所以的矩阵A与n阶单位阵合同

• 存在可逆矩阵P,使得

• 由于,即存在可逆矩阵Q使得
• 从而
• 取,即

正定矩阵的性质

• 设为n阶正定矩阵

• 
• 

• 证明:

• 设正定矩阵对应的正定二次型为,

• 当时恒满足
• 如果能够找到合适的非零向量使得,那么自然得证明了
• 对于(只有第k个元素是非零元素,而且等于1)

• 

• 当时满足

• 
• 
• 从而,又,
• 所以,

• 应为正定矩阵A的特征值均大于0,且,所以

k阶顺序主子式

• 设为n阶矩阵

• 
• 称为A的k阶主子式

• 是k阶子式中的一种特殊情况,它们的结果都是一个数

• (从A左上角划出(包含第一个元素的)k阶子行列式)

• 一个n阶方阵A有n个不同的主子式
• A的n阶主子式为A本身

• 二次型正定当且仅当A的全部顺序主子式均大于0

正定@半正定@负定@半负定

• 设实二次型对于任意,:

• 若恒有,则是正定二次型,A为正定矩阵
• 若恒有,则是半正定二次型,A为半正定矩阵
• 若恒有,则称为负定二次型,A为负定矩阵
• 若恒有,则称是半负定二次型,A称为半负定矩阵

不定二次型

• 若二次型不是有定的,称为不定二次型

负定二次型的等价命题

• 是负定二次型A是负定矩阵
• 矩阵A的特征值均<0
• A的负惯性指数q=n
•