一，损失函数概述
大多数深度学习算法都会涉及某种形式的优化，所谓优化指的是改变 \(x\) 以最小化或最大化某个函数 \(f(x)\) 的任务，我们通常以最小化 \(f(x)\) 指代大多数最优化问题。
在机器学习中，损失函数是代价函数的一部分，而代价函数是目标函数的一种类型。
-
损失函数（
loss function）: 用于定义单个训练样本预测值与真实值之间的误差 -
代价函数（
cost function）: 用于定义单个批次/整个训练集样本预测值与真实值之间的累计误差。 -
目标函数（
objective function）: 泛指任意可以被优化的函数。
损失函数定义：损失函数是深度学习模型训练过程中关键的一个组成部分，其通过前言的内容，我们知道深度学习算法优化的第一步首先是确定目标函数形式。
损失函数大致可分为两种：回归损失（针对连续型变量）和分类损失（针对离散型变量）。
常用的减少损失函数的优化算法是“梯度下降法”（Gradient Descent）。
二，交叉熵函数-分类损失
交叉熵损失(Cross-Entropy Loss) 又称为对数似然损失(Log-likelihood Loss)、对数损失，二分类时还可称之为逻辑斯谛回归损失(Logistic Loss)。
2.1，交叉熵（Cross-Entropy）的由来
交叉熵损失的由来参考文档 AI-EDU: 交叉熵损失函数。
1，信息量
信息论中，信息量的表示方式：
《深度学习》（花书）中称为自信息(self-information) 。
在本文中，我们总是用 \(\text{log}\) 来表示自然对数，其底数为 \(e\)。
- \(x_j\)：表示一个事件
- \(p(x_j)\)：表示事件 \(x_j\) 发生的概率
- \(I(x_j)\)：信息量，\(x_j\) 越不可能发生时，它一旦发生后的信息量就越大
2，熵
信息量只处理单个的输出。我们可以用熵（也称香农熵 Shannon entropy）来对整个概率分布中的不确定性总量进行量化:
则上面的问题的熵是：
3，相对熵(KL散度)
相对熵又称 KL 散度，如果对于同一个随机变量 \(x\) 有两个单独的概率分布 \(P(x)\) 和 \(Q(x)\)，则可以使用 KL 散度（Kullback-Leibler (KL) divergence）来衡量这两个分布的差异，这个相当于信息论范畴的均方差。
KL散度的计算公式：
\(m\) 为事件的所有可能性（分类任务中对应类别数目）。\(D\) 的值越小，表示 \(q\) 分布和 \(p\) 分布越接近。
4，交叉熵
把上述交叉熵公式变形：
等式的前一部分恰巧就是 \(p\) 的熵，等式的后一部分，就是交叉熵（机器学习中 \(p\) 表示真实分布（目标分布），\(q\) 表示预测分布）:
在机器学习中，我们需要评估标签值 \(y\) 和预测值 \(a\) 之间的差距熵（即两个概率分布之间的相似性），使用 KL 散度 \(D_{KL}(y||a)\) 即可，但因为样本标签值的分布通常是固定的，即 \(H(a)\) 不变。因此，为了计算方便，在优化过程中，只需要关注交叉熵就可以了。所以，在机器学习中一般直接用交叉熵做损失函数来评估模型。
上式是单个样本的情况，\(m\) 并不是样本个数，而是分类个数。所以，对于批量样本的交叉熵损失计算公式（很重要!）是：
其中，\(n\) 是样本数，\(m\) 是分类数。
公式参考文章-AI-EDU: 交叉熵损失函数，但是将样本数改为 \(n\)，类别数改为 \(m\)。
有一类特殊问题，就是事件只有两种情况发生的可能，比如“是狗”和“不是狗”，称为 \(0/1\) 分类或二分类。对于这类问题，由于 \(m=2，y_1=1-y_2，a_1=1-a_2\)，所以二分类问题的单个样本的交叉熵可以简化为：
二分类对于批量样本的交叉熵计算公式是：
为什么交叉熵的代价函数是求均值而不是求和?
Cross entropy loss is defined as the “expectation” of the probability distribution of a random variable ????, and that’s why we use mean instead of sum. 参见这里。
2.1.1，熵、相对熵以及交叉熵总结
交叉熵 \(H(p, q)\) 也记作 \(CE(p, q)\)、\(H(P, Q)\)，其另一种表达公式（公式表达形式虽然不一样，但是意义相同）:
\[H(P, Q) = -\mathbb{E}_{\textrm{x}\sim p}log(q(x)) \]
交叉熵函数常用于逻辑回归(logistic regression)，也就是分类(classification)。
根据信息论中熵的性质，将熵、相对熵（KL 散度）以及交叉熵的公式放到一起总结如下:
2.2，二分类问题的交叉熵
把二分类的交叉熵公式 4 分解开两种情况：
- 当 \(y=1\) 时，即标签值是 \(1\) ，是个正例，加号后面的项为: \(loss = -\log(a)\)
- 当 \(y=0\) 时，即标签值是 \(0\)，是个反例，加号前面的项为 \(0\): \(loss = -\log (1-a)\)
横坐标是预测输出，纵坐标是损失函数值。\(y=1\) 意味着当前样本标签值是1，当预测输出越接近1时，损失函数值越小，训练结果越准确。当预测输出越接近0时，损失函数值越大，训练结果越糟糕。此时，损失函数值如下图所示。
2.3，多分类问题的交叉熵
当标签值不是非0即1的情况时，就是多分类了。
假设希望根据图片动物的轮廓、颜色等特征，来预测动物的类别，有三种可预测类别：猫、狗、猪。假设我们训练了两个分类模型，其预测结果如下:
模型1:
| 预测值 | 标签值 | 是否正确 |
|---|---|---|
| 0.3 0.3 0.4 | 0 0 1（猪） | 正确 |
| 0.3 0.4 0.4 | 0 1 0（狗） | 正确 |
| 0.1 0.2 0.7 | 1 0 0（猫） | 错误 |
每行表示不同样本的预测情况，公共 3 个样本。可以看出，模型 1 对于样本 1 和样本 2 以非常微弱的优势判断正确，对于样本 3 的判断则彻底错误。
模型2:
| 预测值 | 标签值 | 是否正确 |
|---|---|---|
| 0.1 0.2 0.7 | 0 0 1（猪） | 正确 |
| 0.1 0.7 0.2 | 0 1 0（狗） | 正确 |
| 0.3 0.4 0.4 | 1 0 0（猫） | 错误 |
可以看出，模型 2 对于样本 1 和样本 2 判断非常准确（预测概率值更趋近于 1），对于样本 3 虽然判断错误，但是相对来说没有错得太离谱（预测概率值远小于 1）。
结合多分类的交叉熵损失函数公式可得，模型 1 的交叉熵为:
对所有样本的 loss 求平均:
模型 2 的交叉熵为:
对所有样本的 loss 求平均:
可以看到，0.63 比 1.37 的损失值小很多，这说明预测值越接近真实标签值，即交叉熵损失函数可以较好的捕捉到模型 1 和模型 2 预测效果的差异。交叉熵损失函数值越小，反向传播的力度越小。
多分类问题计算交叉熵的实例来源于知乎文章-损失函数｜交叉熵损失函数。
2.4，PyTorch 中的 Cross Entropy
PyTorch 中常用的交叉熵损失函数为 torch.nn.CrossEntropyLoss
class torch.nn.CrossEntropyLoss(weight=None, size_average=None,
ignore_index=-100, reduce=None,
reduction='elementwise_mean')
1，函数功能:
将输入经过 softmax 激活函数之后，再计算其与 target 的交叉熵损失。即该方法将 nn.LogSoftmax() 和 nn.NLLLoss()进行了结合。严格意义上的交叉熵损失函数应该是 nn.NLLLoss()。
2，参数解释:
-
weight(Tensor)- 为每个类别的 loss 设置权值，常用于类别不均衡问题。weight 必须是 float 类型的 tensor，其长度要于类别C一致，即每一个类别都要设置有 weight。 -
size_average(bool)- 当 reduce=True 时有效。为 True 时，返回的 loss 为平均值;为 False 时，返回的各样本的 loss 之和。 -
reduce(bool)- 返回值是否为标量，默认为 True。 -
ignore_index(int)- 忽略某一类别，不计算其loss，其 loss 会为 0，并且，在采用 size_average 时，不会计算那一类的 loss，除的时候的分母也不会统计那一类的样本。
2.4.1，Softmax 多分类函数
注意: Softmax 用作模型最后一层的函数通常和交叉熵作损失函数配套搭配使用，应用于多分类任务。
对于二分类问题，我们使用 Logistic 函数计算样本的概率值，从而把样本分成了正负两类。对于多分类问题，则使用 Softmax 作为模型最后一层的激活函数来将多分类的输出值转换为范围在 [0, 1] 和为 1 的概率分布。
Softmax 从字面上来说，可以分成 soft 和 max 两个部分。max 故名思议就是最大值的意思。Softmax 的核心在于 soft，而 soft 有软的含义，与之相对的是 hard 硬，即 herdmax。下面分布演示将模型输出值取 max 值和引入 Softmax 的对比情况。
取max值（hardmax）
假设模型输出结果 \(z\) 值是 \([3,1,-3]\)，如果取 max 操作会变成 \([1, 0, 0]\)，这符合我们的分类需要，即三者相加为1，并且认为该样本属于第一类。但是有两个不足：
- 分类结果是 \([1,0,0]\)，只保留非 0 即 1 的信息，即非黑即白，没有各元素之间相差多少的信息，可以理解是“Hard Max”；
- max 操作本身不可导，无法用在反向传播中。
引入Softmax
Softmax 加了个"soft"来模拟 max 的行为，但同时又保留了相对大小的信息。
上式中:
- \(z_j\) 是对第 \(j\) 项的分类原始值，即矩阵运算的结果
- \(z_i\) 是参与分类计算的每个类别的原始值
- \(m\) 是总分类数
- \(a_j\) 是对第 \(j\) 项的计算结果
和 hardmax 相比，Softmax 的含义就在于不再唯一的确定某一个最大值，而是为每个输出分类的结果都赋予一个概率值（置信度），表示属于每个类别的可能性。
下图可以形象地说明 Softmax 的计算过程。
当输入的数据 \([z_1,z_2,z_3]\) 是 \([3, 1, -3]\) 时，按照图示过程进行计算，可以得出输出的概率分布是 \([0.879,0.119,0.002]\)。对比 max 运算和 Softmax 的不同，如下表所示。
| 输入原始值 | MAX计算 | Softmax计算 |
|---|---|---|
| \([3, 1, -3]\) | \([1, 0, 0]\) | \([0.879, 0.119, 0.002]\) |
可以看出 Softmax 运算结果两个特点：
- 三个类别的概率相加为 1
- 每个类别的概率都大于 0
下面我再给出 hardmax 和 softmax 计算的代码实现。
# example of the argmax of a list of numbers
from numpy import argmax
from numpy import exp
# define data
data = [3, 1, -3]
def hardmax(data):
"""# calculate the argmax of the list"""
result = argmax(data)
return result
def softmax(vector):
"""# calculate the softmax of a vector"""
e = exp(vector)
return e / e.sum()
hardmax_result = hardmax(data)
# 运行该示例返回列表索引值“0”，该值指向包含列表“3”中最大值的数组索引 [1]。
print(hardmax(data)) # 0
# convert list of numbers to a list of probabilities
softmax_result = softmax(data)
print(softmax_result) # report the probabilities
print(sum(softmax_result)) # report the sum of the probabilitie
运行以上代码后，输出结果如下:
0
[0.87887824 0.11894324 0.00217852]
1.0
很明显程序的输出结果和我们手动计算的结果是一样的。
Pytorch 中的 Softmax 函数定义如下:
def softmax(x):
return torch.exp(x)/torch.sum(torch.exp(x), dim=1).view(-1,1)
dim=1 用于 torch.sum() 对所有列的每一行求和，.view(-1,1) 用于防止广播。
2.5，为什么不能使用均方差做为分类问题的损失函数？
回归问题通常用均方差损失函数，可以保证损失函数是个凸函数，即可以得到最优解。而分类问题如果用均方差的话，损失函数的表现不是凸函数，就很难得到最优解。而交叉熵函数可以保证区间内单调。
分类问题的最后一层网络，需要分类函数，Sigmoid 或者 Softmax，如果再接均方差函数的话，其求导结果复杂，运算量比较大。用交叉熵函数的话，可以得到比较简单的计算结果，一个简单的减法就可以得到反向误差。
三，回归损失
与分类问题不同，回归问题解决的是对具体数值的预测。解决回归问题的神经网络一般只有只有一个输出节点，这个节点的输出值就是预测值。
回归问题的一个基本概念是残差或称为预测误差，用于衡量模型预测值与真实标记的靠近程度。假设回归问题中对应于第 \(i\) 个输入特征 \(x_i\) 的标签为 \(y^i = (y_1,y_2,...,y_M)^{\top}\)，\(M\) 为标记向量总维度，则 \(l_{t}^{i}\) 即表示样本 \(i\) 上神经网络的回归预测值 (\(y^i\)) 与其样本标签值在第 \(t\) 维的预测误差(亦称残差):
常用的两种损失函数为 \(\text{MAE}\)（也叫 L1 损失） 和 \(\text{MSE}\) 损失函数（也叫 L2 损失）。
3.1，MAE 损失
平均绝对误差（Mean Absolute Error，MAE）是用于回归模型的最简单但最强大的损失函数之一。
因为存在离群值（与其余数据差异很大的值），所以回归问题可能具有本质上不是严格高斯分布的变量。 在这种情况下，平均绝对误差将是一个理想的选择，因为它没有考虑异常值的方向（不切实际的高正值或负值）。
顾名思义，MAE 是目标值和预测值之差的绝对值之和。\(n\) 是数据集中数据点的总数，其公式如下:
3.2，MSE 损失
均方误差（Mean Square Error, MSE）几乎是每个数据科学家在回归损失函数方面的偏好，这是因为大多数变量都可以建模为高斯分布。
均方误差计算方法是求预测值与真实值之间距离的平方和。预测值和真实值越接近，两者的均方差就越小。公式如下:
3.3，Huber 损失
MAE 和 MSE 损失之间的比较产生以下结果：
-
MAE 损失比 MSE 损失更稳健。仔细查看公式，可以观察到如果预测值和实际值之间的差异很大，与 MAE 相比，MSE 损失会放大效果。 由于 MSE 会屈服于异常值，因此 MAE 损失函数是更稳健的损失函数。
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MAE 损失不如 MSE 损失稳定。由于 MAE 损失处理的是距离差异，因此一个小的水平变化都可能导致回归线波动很大。在多次迭代中发生的影响将导致迭代之间的斜率发生显著变化。总结就是，MSE 可以确保回归线轻微移动以对数据点进行小幅调整。
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MAE 损失更新的梯度始终相同。即使对于很小的损失值，梯度也很大。这样不利于模型的学习。为了解决这个缺陷，我们可以使用变化的学习率，在损失接近最小值时降低学习率。
-
MSE 损失的梯度随损失增大而增大，而损失趋于0时则会减小。其使用固定的学习率也可以有效收敛。
Huber Loss 结合了 MAE 的稳健性和 MSE 的稳定性，本质上是 MAE 和 MSE 损失中最好的。对于大误差，它是线性的，对于小误差，它本质上是二次的。
Huber Loss 的特征在于参数 \(\delta\)。当 \(|y − \hat{y}|\) 小于一个事先指定的值 $\delta $ 时，变为平方损失，大于 $\delta $ 时，则变成类似于绝对值损失，因此其是比较robust 的损失函数。其定义如下:
三种回归损失函数的曲线图比较如下：
代码来源 Loss Function Plot.ipynb。
三种回归损失函数的其他形式定义如下:
3.4，代码实现
下面是三种回归损失函数的 python 代码实现，以及对应的 sklearn 库的内置函数。
# true: Array of true target variable
# pred: Array of predictions
def mse(true, pred):
return np.sum((true - pred)**2)
def mae(true, pred):
return np.sum(np.abs(true - pred))
def huber(true, pred, delta):
loss = np.where(np.abs(true-pred) < delta , 0.5*((true-pred)**2),delta*np.abs(true - pred) - 0.5*(delta**2))
return np.sum(loss)
# also available in sklearn
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.metrics import mean_absolute_error