子数组的最大异或和问题

时间：2022-12-26 22:08:28

作者：Grey

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博客园：子数组的最大异或和问题

CSDN：子数组的最大异或和问题

题目描述

数组中所有数都异或起来的结果，叫做异或和。给定一个数组 arr，其中可能有正、有负，有零，返回 arr 的最大子数组异或和

题目链接见：牛客-子数组的最大异或和

暴力解

枚举每个子数组的异或和，抓取全局最大值返回，整个算法时间复杂度\(O(N^3)\)，整个过程比较简单，不赘述，基于这个暴力解法，可以有优化一些的算法，就是利用前缀异或和数组，时间复杂度可以减少到\(O(N^2)\)，思路如下

第一步

申请一个和原始数组一样长的前缀异或和数组

int[] eor = new int[arr.length];

其中eor[i]表示原始数组 0 位置到 i 位置的异或和是多少，实现代码如下：

    eor[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      eor[i] = eor[i - 1] ^ arr[i];
    }

有了 eor 数组以后，对于任意 i 位置，0 到 i 区间的异或和就可以直接获取到了，接下来是枚举数组中任意两个位置 i 和 j 区间的异或和，由于

i ~ j 之间的异或和等于 eor[j] ^ eor[i-1](i > 0)，所以

任何两个位置之间的异或和信息可以通过如下代码求得，其中 max 是全局异或和的最大值

    for (int i = 1; i < n; i++) {
      max = Math.max(max, eor[i]);
      for (int j = i; j < n; j++) {
        max = Math.max(max, eor[j] ^ eor[i - 1]);
      }
    }

完整代码如下

  public static int maxEor1(int[] arr, int n) {
    int[] eor = new int[arr.length];
    int max = arr[0];
    eor[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      eor[i] = eor[i - 1] ^ arr[i];
    }
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      max = Math.max(max, eor[i]);
      for (int j = i; j < n; j++) {
        max = Math.max(max, eor[j] ^ eor[i - 1]);
      }
    }
    return max;
  }

整个算法复杂度是\(O(N^2)\)，并不是最优解。

最优解

根据上述暴力解法，时间复杂度比较高的部分是：

当确定了 0 ~ i 位置的异或和以后，如何定位 0 ~ j 这个区间，使得 j ~ i 之间的异或和最大。

暴力解法使用的是遍历的方式，而最优解，可以使用前缀树进行加速匹配，关于前缀树的内容，可以参考：前缀树的设计和实现

以数组[11,1,15,10,13,4]为例，我们把其前缀异或和数组转换成二进制，结果如下(其中eor[i..j]表示i~j的异或和)

eor[0..0] = 1011

eor[0..1] = 1010

eor[0..2] = 0101

eor[0..3] = 1111

eor[0..4] = 0010

eor[0..5] = 0110

把这些前缀异或和加入前缀树,

子数组的最大异或和问题

接下来，对于任何一个eor[i](0~i的异或和)来说，进入前缀树以后，前缀树需要快速找到和其匹配的eor[j]，使得i~j之间的异或和最大，规则就是最高位（符号位）期待一样，紧着高位要期待不一样的值

例如：

eor[2] = 0101

eor[2] 期待和它符号位一样为0的值，紧着高位（由于前面28都是0，所以不存在和它符号不一样的，只看最后4位，

子数组的最大异或和问题

通过这个贪心，就可以在\(O(1)\)时间复杂度直接得到结果。

说明：如果期待遇到 0 可是前缀树没有往 0 方向的路，那直接返回 1 即可，反之亦然。

完整代码如下

  public static int maxEor(int[] arr, int n) {
    int[] eor = new int[arr.length];
    int max = 0;
    eor[0] = arr[0];
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      eor[i] = eor[i - 1] ^ arr[i];
    }
    Trie trie = new Trie(eor);
    trie.add(eor[0]);
    for (int i = 1; i < n; i++) {
      max = Math.max(max, trie.get(eor[i]));
    }
    return max;
  }

  public static class Trie {
    public Node head;

    public Trie(int[] arr) {
      head = new Node();
      for (int eor : arr) {
        add(eor);
      }
    }

    public void add(int num) {
      Node cur = head;
      for (int bit = 31; bit >= 0; bit--) {
        int i = ((num >>> bit) & 1);
        if (cur.next[i] == null) {
          cur.next[i] = new Node();
        }
        cur = cur.next[i];
      }
    }

    public int get(int eor) {
      int expect = 0;
      Node cur = head;
      for (int bit = 31; bit >= 0; bit--) {
        // 符号位期待一样的
        // 非符号位期待相反的
        int expectBit = bit == 31 ? ((eor >>> bit) & 1) : (eor >>> bit & 1 ^ 1);
        if (cur.next[expectBit] != null) {
          expect = ((expectBit << bit) | expect);
          cur = cur.next[expectBit];
        } else {
          expectBit = (expectBit ^ 1);
          cur = cur.next[expectBit];
          expect = ((expectBit << bit) | expect);
        }
      }
      return expect ^ eor;
    }
  }

  public static class Node {
    public Node[] next = new Node[2];
  }

整个算法时间复杂度\(O(N)\)，最优解。

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算法和数据结构笔记

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