正文
1. 秩简介
矩阵的秩是线性代数中非常重要的概念，本篇主要围绕矩阵的秩和方程解的情况展开，其余内容不做阐述。
对于方程Ax = b:
$$\begin{cases}x_1 + x_2 +x_3= 12 \x_1 - 3x_2 +x_3=8\x_1 -x_2 +x_3= 10\end{cases}$$
其对应的增广矩阵为：
$$\overline{A} = \begin{bmatrix}1&1&1&|&12\1&-3&1&|&8\1&-1&1&|&10\end{bmatrix}$$
通过初等行变换可以转化为：
$$\begin{bmatrix}1&1&1&|&12\1&-3&1&|&8\0&0&0&|&0\end{bmatrix}$$
可以看到其中第三行$r_3$可以由第一行$r_1$和第二行$r_2$线性表示，即$\frac{1}{2}r_1 + \frac{1}{2}r_2 = r_3$，所以真正决定Ax = b解的方程数量只有2个，即该方程对应的矩阵A的秩r(A) = 2。
2. 矩阵的秩与方程解的关系
矩阵的秩体现了方程解的情况，也可以反映出对应系数矩阵的信息
m 是行向量维度代表
方程的个数，n 是列向量维度代表未知量的个数 以下为矩阵的秩与行（列）秩之间的关系：
- 当
r = m = n:
只有当矩阵A是方阵的时候才会满足，这意味着：
-
无论行或列都不存在线性相关，所有信息在完整的矩阵中才可以全部体现；
-
将
矩阵A转化为矩阵U（行阶梯矩阵）或者矩阵R（行最简阶梯矩阵）的时候不会出现全部为0的行； -
矩阵对应的行列式
|A|是可逆的； -
对于方程
Ax = b来说有唯一解。
- 当
r = n < m:
此时列满秩，说明矩阵中某些行向量可以由其他行向量线性表示，意味着：
-
n < m表示有效方程数量大于未知量个数，即未知量少而方程多，行信息冗余； - 对于
未知量x的限制条件较多，方程Ax = b可能无解，也可能存在唯一解（当增广矩阵$\overline{A}$ 的秩与矩阵A的秩 相同）。
- 当
r = m < n:
此时仅行满秩，说明矩阵中某些列向量可以由其他列向量线性表示，意味着：
-
m < n表示列向量的个数代表未知量的个数，即方程少而未知量多，列信息冗余； - 由于一个方程最多求解（限制）一个未知量，所以*未知量的个数永远不为0，即对于
任意b，方程Ax = b都有无穷多解。
- 当
r < m, r < n:
- 此时行列均不满秩，根据上面的思路可以得到方程解的情况有：无解和无穷多解集。
附录 python求矩阵的秩
import numpy as np
A = np.array([[1, 1, 1], [2, -3, -1], [1, 1, 1]]).T
b = np.array([12, 8, 10])
# A的秩
print(f"矩阵A的秩为{np.linalg.matrix_rank(A)}")