题目描述
有 \(n\) 个小朋友排成一列。每个小朋友手上都有一个数字，这个数字可正可负。规定每个小朋友的特征值等于排在他前面（包括他本人）的小朋友中连续若干个（最少有一个）小朋友手上的数字之和的最大值。
作为这些小朋友的老师，你需要给每个小朋友一个分数，分数是这样规定的：第一个小朋友的分数是他的特征值，其它小朋友的分数为排在他前面的所有小朋友中（不包括他本人），小朋友分数加上其特征值的最大值。
请计算所有小朋友分数的最大值，输出时保持最大值的符号，将其绝对值对 \(p\) 取模后输出。
输入格式
第一行包含两个正整数 \(n,p\)，之间用一个空格隔开。
第二行包含 \(n\) 个数，每两个整数之间用一个空格隔开，表示每个小朋友手上的数字。
输出格式
一个整数，表示最大分数对 \(p\) 取模的结果。
样例 #1
样例输入 #1
5 997
1 2 3 4 5
样例输出 #1
21
样例 #2
样例输入 #2
5 7
-1 -1 -1 -1 -1
样例输出 #2
-1
提示
【样例解释 #1】
小朋友的特征值分别为 \(1,3,6,10,15\)，分数分别为 $ 1,2,5,11,21$，最大值 \(21\) 对 \(997\) 的模是 \(21\)。
【样例解释 #2】
小朋友的特征值分别为 \(-1,-1,-1,-1,-1\)，分数分别为\(-1,-2,-2,-2,-2\)，最大值 \(-1\) 对 \(7\) 的模为 \(-1\)，输出 \(-1\)。
【数据范围】
对于 \(50\%\) 的数据，\(1 \le n \le 1000\)，\(1 \le p \le 1000\)，所有数字的绝对值不超过 \(1000\)；
对于 \(100\%\) 的数据，\(1 \le n \le {10}^6\)，\(1 \le p \le {10}^9\)，其他数字的绝对值均不超过 \({10}^9\)。
题解
我们首先来分析小朋友的三个指标：手里的数，特征值，分数。
手里的数：即我们输入的长度为\(n\)的序列；
特征值：从第一个小朋友到当前小朋友的 手上的数 的 最大子段和；
分数：当前小朋友前面的小朋友中 小朋友特征值和分数的和 的最大值（第一个小朋友的分数等于其特征值）。
这个问题可以拆分成两个子问题。
一、求每个小朋友对应的最大子段和
最大子段和的核心思想
1.第一个数是一个有效子段。
2.如果 一个数加上上一个有效子段 的结果 大于 这个数，那么 这个数属于上一个有效子段。
3.如果 一个数加上上一个有效子段 的结果 小于 这个数，那么 这个数成为一个新的有效子段。
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&hand);//hand是输入的手里的数
if(i==1) tmp[i]=hand;//tmp[]记录子段
else tmp[i]=maxx(hand,tmp[i-1]+hand);//取hand是第3种情况，取tmp[i-1]+hand是第2种情况
sub=maxx(sub,tmp[i]);//sub是第i个小朋友对应的最大子段和（特征值）
stu[i].spl=sub;
}
注意
sub=maxx(sub,tmp[i]);
stu[i].spl=sub;
不能写成
stu[i].spl=maxx(stu[i].spl,tmp[i]);
\(sub\)后续还会用到，所以需要持久地保存下来。
二、线性统计所有小朋友分数的最大值
第一个小朋友的分数就是其特征值。
第二个小朋友前面只有一个小朋友，所以第二个小朋友的分数就是第一个小朋友分数和特征值之和。
……
记录当前小朋友的分数为\(x\)，那么下一个小朋友的分数就是 \(x\)、下一个小朋友与\(x\)的和 的最大值。、
stu[1].sco=stu[1].spl;
x=stu[1].sco+stu[1].spl;
ans=stu[1].sco;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
stu[i].sco=x;
x=maxx(x,stu[i].spl+stu[i].sco);
ans=maxx(ans,stu[i].sco);
}
考虑到数据范围导致运算时会出现超过\(long long\)的值，所以可以使用__128来声明参与运算的变量，注意输入输出不能用__128。
AC代码
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const __int128 N=1000005;
const __int128 inf=2147483647;
ll n,p,hand;
__int128 x,ans;
struct student
{
__int128 spl,sco;
}stu[N];
__int128 tmp[N];
__int128 maxx(__int128 a,__int128 b)
{
return a>b?a:b;
}
__int128 sub=-inf;
ll final;
signed main()
{
//freopen("number.in","r",stdin);
//freopen("number.out","w",stdout);
scanf("%lld%lld",&n,&p);
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&hand);//hand是输入的手里的数
if(i==1) tmp[i]=hand;//tmp[]记录子段
else tmp[i]=maxx(hand,tmp[i-1]+hand);//取hand是第3种情况，取tmp[i-1]+hand是第2种情况
sub=maxx(sub,tmp[i]);//sub是第i个小朋友对应的最大子段和（特征值）
stu[i].spl=sub;
}
stu[1].sco=stu[1].spl;
x=stu[1].sco+stu[1].spl;
ans=stu[1].sco;
for(int i=2;i<=n;i++)
{
stu[i].sco=x;
x=maxx(x,stu[i].spl+stu[i].sco);
ans=maxx(ans,stu[i].sco);
}
if(ans>=0)
{
ans=ans%p;
final=ans;
printf("%lld",final);
}
else
{
ans=-ans;
ans=ans%p;
final=ans;
printf("-%lld",final);
}
return 0;
}