文章目录
填充和步幅
由之前的学习,可以知道,假设输入形状为 X h × X w X_h \times X_w Xh×Xw ,卷积核形状为 K h × K w K_h \times K_w Kh×Kw ,那么输出形状将是 ( X h − K h + 1 ) × ( X w − K w + 1 ) (X_h - K_h + 1) \times (X_w - K_w + 1) (Xh−Kh+1)×(Xw−Kw+1) 。因此,卷积的输出形状取决于输入形状和卷积核的形状。
还有什么因素会影响输出的大小呢?本节我们将介绍 填充(padding) 和 步幅(stride)。
填充(Padding)
在应用多层卷积时,我们常常丢失边缘像素。 由于我们通常使用小卷积核,因此对于任何单个卷积,我们可能只会丢失几个像素。 但随着我们应用许多连续卷积层,累积丢失的像素数就多了。
解决这个问题的简单方法即为填充(padding):在输入图像的边界填充元素(通常填充元素是 0 0 0 )。
例如,在下图中,我们将 3 × 3 3 \times 3 3×3 输入填充到 5 × 5 5 \times 5 5×5 ,那么它的输出就增加为 4 × 4 4 \times 4 4×4 。阴影部分是第一个输出元素以及用于输出计算的输入和核张量元素:
0 × 0 + 0 × 1 + 0 × 2 + 0 × 3 = 0 0 \times 0 + 0 \times 1 + 0 \times 2 + 0 \times 3 = 0 0×0+0×1+0×2+0×3=0
通常,如果我们添加 p h p_h ph 行填充(大约一半在顶部,一半在底部)和列 p w p_w pw 填充(左侧大约一半,右侧一半),则输出形状将为
( n h − k h + p h + 1 ) × ( n w − k w + p w + 1 ) (n_h - k_h + p_h +1) \times (n_w - k_w + p_w +1) (nh−kh+ph+1)×(nw−kw+pw+1)
这意味着输出的高度和宽度将分别增加 p h p_h ph 和 p w p_w pw 。
在许多情况下,我们需要设置 p h = k h − 1 p_h = k_h - 1 ph=kh−1 和 p w = k w − 1 p_w = k_w - 1 pw=kw−1 ,使输入和输出具有相同的高度和宽度。
此外,使用奇数的核大小和填充大小也提供了书写上的便利。对于任何二维张量X,当满足: 1. 卷积核的大小是奇数; 2. 所有边的填充行数和列数相同; 3. 输出与输入具有相同高度和宽度 则可以得出:输出 Y [ i , j ] Y[i, j] Y[i,j] 是通过以输入 X [ i , j ] X[i, j] X[i,j] 为中心,与卷积核进行互相关计算得到的。
比如,在下面的例子中,我们创建一个高度和宽度为 3 的二维卷积层,并在所有侧边填充 1 个像素。给定高度和宽度为 8 的输入,则输出的高度和宽度也是 8 。
import torch #引入torch包
from torch import nn #引入torch中的nn神经网络
#为了方便起见,我们定义了一个计算卷积层的函数
#此函数初始化卷积层权重,并对输入和输出提高和缩减相应的维度
def comp_conv2d(conv2d, X):
#这里的 (1, 1) 表示批量大小和通道数都是1
X = X.reshape((1, 1) + X.shape)
Y = conv2d(X)
#省略前两个维度: 批量大小和通道
return Y.reshape(Y.shape[2:])
#请注意,这里每边都填充了1行或1列,因此总共填充了2行和2列
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1)
X = torch.rand(size=(8,8))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([8, 8])
当卷积核的高度和宽度不同时,我们可以填充不同的高度和宽度,使输出和输入具有相同的高度和宽度。在如下示例中,我们使用高度为5,宽度为3的卷积核,高度和宽度两边的填充分别为2和1。
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(5, 3), padding=(2, 1))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([8, 8])
步幅(Stride)
在计算互相关时,卷积窗口从输入张量的左上角开始,向下、向右滑动。 在前面的例子中,我们默认每次滑动一个元素。 但是,有时候为了高效计算或是缩减采样次数,卷积窗口可以跳过中间位置,每次滑动多个元素。
我们将每次滑动元素的数量称为 步幅(stride) 。
下图是垂直步幅为 3 3 3 ,水平步幅为 2 2 2 的二维互相关运算。 着色部分是输出元素以及用于输出计算的输入和内核张量元素:
0 × 0 + 0 × 1 + 1 × 2 + 2 × 3 = 8 0 × 0 + 6 × 1 + 0 × 2 + 0 × 3 = 6 0 \times 0 + 0 \times 1 + 1 \times 2 + 2 \times 3 = 8 \\ 0 \times 0 + 6 \times 1 + 0 \times 2 + 0 \times 3 = 6 0×0+0×1+1×2+2×3=80×0+6×1+0×2+0×3=6
通常,当垂直步幅为 s h s_h sh 、水平步幅为 s w s_w sw 时,输出形状为
⌊ ( n h − k h + p h + s h ) / s h ⌋ × ⌊ ( n w − k w + p w + s w ) / s w ⌋ \lfloor (n_h - k_h + p_h + s_h)/s_h \rfloor \times \lfloor (n_w - k_w + p_w + s_w)/s_w \rfloor ⌊(nh−kh+ph+sh)/sh⌋×⌊(nw−kw+pw+sw)/sw⌋
如果我们设置了 p h = k h − 1 p_h = k_h - 1 ph=kh−1 和 p w = k w − 1 p_w = k_w - 1 pw=kw−1,则输出形状将简化为
⌊ ( n h + s h − 1 ) / s h ⌋ × ⌊ ( n w + s w − 1 ) / s w ⌋ \lfloor (n_h + s_h - 1)/s_h \rfloor \times \lfloor (n_w + s_w - 1)/s_w \rfloor ⌊(nh+sh−1)/sh⌋×⌊(nw+sw−1)/sw⌋
更进一步,如果输入的高度和宽度可以被垂直和水平步幅整除,则输出形状将为
( n h / s h ) × ( n w / s w ) (n_h/s_h) \times (n_w/s_w) (nh/sh)×(nw/sw)
下面,我们将高度和宽度的步幅设置为2,从而将输入的高度和宽度减半。
#定义卷积核,输入输出管道分别为1、1,卷积核为(3,3),行列均填充2,步数为2
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=3, padding=1, stride=2)
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([4, 4])
接下来,看一个稍微复杂的例子。
conv2d = nn.Conv2d(1, 1, kernel_size=(3, 5), padding=(0, 1), stride=(3, 4))
comp_conv2d(conv2d, X).shape
torch.Size([2, 2])
在实践中,我们很少使用不一致的步幅或填充,也就是说,我们通常有 p h = p w p_h = p_w ph=pw 和 s h = s w s_h = s_w sh=sw 。
小结
-
填充可以增加输出的高度和宽度。这常用来使输出与输入具有相同的高和宽。
-
步幅可以减小输出的高和宽,例如输出的高和宽仅为输入的高和宽的 1 / n 1/n 1/n( n n n 是一个大于的整数)。
-
填充和步幅可用于有效地调整数据的维度。