你会绘制椭圆吗？

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你真是个特别的人

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前言

圆特征在测量领域中应用广泛，比如：相机标定、位姿估计、目标跟踪等方面。圆经过透视投影，当成像平面与圆平面不平行时，圆经过透视投影为椭圆，圆心的透视投影点与椭圆的中心点不重合，这个偏差叫做椭圆构像偏差。鉴于此，研究如何绘制一个高精度的椭圆，对于整个测量系统的精度具有重要意义。

一 OpenCV中绘制椭圆的函数

根据OpenCV提供的ellipse（）函数，我将其封装成如下的绘制椭圆函数：

//使用opencv中的ellipse函数在平面绘制椭圆，此处的参数为长短轴的半轴长。
Mat DrawPreciseEllipse::DrawEllipse(Mat img, double EllipseCenter_x, double EllipseCenter_y, double EllipseLong_axis, double EllipseShort_axis, double angle)
{
    int thickness = -2;
    int lineType = 8;
    ellipse(img,
        Point(EllipseCenter_x, EllipseCenter_y),
        Size(EllipseLong_axis, EllipseShort_axis),   //ellipse()函数中参数轴长应该是长短轴的一半，此处将对应的参数除以二，则我们输入即可认为是长短轴轴长。
        angle,
        0,
        360,
        Scalar(1),
        thickness,
        lineType);
    return img;
}

利用此函数，我们在平面绘制长半轴长为100pix，短半轴为80pix、偏转角为0度的椭圆，如图1.1所示。利用ImageWatch插件可以观察椭圆边缘轮廓，如图1.2所示。

图1.1 OpenCV中ellipse函数绘制的椭圆

图1.2 OpenCV中ellipse函数绘制的椭圆边缘轮廓

由上图可见，使用OpenCV自带的椭圆绘制函数绘制的椭圆边缘轮廓为锯齿形，这对于椭圆中心的检测精度很不利，经过测试，这样的椭圆图案中心检测精度较差。

二 面积法绘制椭圆

如何实现在给定的图像平面中绘制一个具有任意旋转角、任意长短轴的椭圆，且椭圆中心为任意值，且椭圆边缘较为柔和，这是一个亟待解决的问题。不失一般性，我们以在600pix×600pix图像尺寸中绘制椭圆中心坐标为（300.67,300.35）,长短半轴长分别为80,60为例。（单位均为像素）。

2.1 初步绘制二值化椭圆

对于椭圆总有一般方程

2.1

此方程可以变形为

2.2

令：

2.2.1

则有：

2.3

椭圆的标准方程

2.4

对于斜椭圆，其旋转角为-θ（为后续讨论方便，取为负值），则：

2.5

2.6

带入标准方程，即得到旋转后的方程

2.7

经化简得到

2.8

所以

2.9

2.10

2.11

2.12

其算法流程图可归纳总结如图 2.1 所示。经过流程图中的步骤，初步绘制好的椭圆二值化图像边缘轮廓部分截图，如图 2.2 所示。

图2.1 绘制椭圆二值化图像

图2.2 二值化椭圆轮廓边缘示意图

2.2 面积法的含义

接下来，为了使得椭圆边缘轮廓不显得那么锐利，使用面积法使用面积法将其边缘像素重新赋值，使椭圆轮廓边缘更加平滑。面积法指的是将椭圆边界的像素大小划分为 n×n个点，根据公式（2.13）将椭圆边缘重新赋值。公式中的 Ia为椭圆外部的各像素值，Ib椭圆内部的各像素值，I为重新赋值的像素值大小。（对于此处的n取值大小，如有感兴趣者，欢迎在【视觉IMAX】知识星球进行讨论交流）。

2.13

使用面积法的算法流程可大致归纳如图 2.3 所示。

图2.3 面积法对椭圆边缘像素重新赋值

2.3 使用面积法精确绘制椭圆

在 2.2 中我们是默认已经找出了椭圆的边缘轮廓，但在实际操作中，如何找出椭圆的边缘轮廓仍然是我们需要解决的问题。此处我们使用八邻域查找算法，选择的滤波器核大小为 3,如图 2.4 所示。

图2.4 滤波器核

利用此核与整个二值化椭圆图像做卷积运算，2.1 小节得到的二值化椭圆经过卷积运算后，如果是椭圆外部的点，像素值皆为 0，此时我们将其重新赋值为 50，如果是椭圆内部的点，像素值皆为 8，此时我们将其重新赋值为 200。像素值介于 1~7 的部分，我们便可以认为这是椭圆的边缘轮廓，如图 2.5 所示。图 2.5 中的左图为整幅椭圆图像经过八邻域查找法卷积运算后得到的椭圆，图2.5 中的右图为椭圆部分边缘轮廓放大后的效果图。

图 2.5 八邻域查找法寻找椭圆边缘轮廓

图 2.6 绘制理想椭圆的流程图

对于椭圆的边缘轮廓，我们便可以使用面积法，对椭圆边缘轮廓重新赋值。这样，使用面积法绘制理想椭圆的算法流程可归纳总结如图 2.6 所示。 经过使用面积法对椭圆边缘轮廓重新赋值之后，绘制好的理想椭圆，如图2.7 所示。图中左边部分为整个椭圆，右边部分为椭圆的轮廓部分截图。

图 2.7 面积法绘制的理想椭圆效果图

显然，使用面积法绘制的椭圆边缘更加柔和，椭圆中心检测精度更高。

三 总结

文章主要分析了两种绘制椭圆的方法，对比得出面积法绘制椭圆的精度更高。

四 跋

犹记得研究椭圆检测的那段时光，每天上下班路上，经常会莫名地观察路边的灯光、早晨的太阳、傍晚的夕阳，脑海中在始终会萦绕着一个问题：它们什么时候的所形成的椭圆图像中心检测精度更高呢？