Python数据结构之树的全面解读

时间:2021-08-14 04:05:06

基本概念

树的定义

树是n(n≥0)个结点的有限集合,n = 0时,称为空树,这是一种特殊情况

在任意一棵非空树中应满足:
①有且仅有一个特定的称为根的结点
②当n > 1时,其余结点可分为m(m > 0)个互不相交的有限集合T1,T2,…,Tm,其中每个集合本身又是一棵树,并且称为根结点的子树==

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∅ 空树――结点数为0的树

非空树的特性:

有且仅有一个根节点
除了根节点外,任何一个结点都有且仅有一个前驱
每个结点可以有0个或多个后继

基本术语

1.度

(1)结点的度:结点所拥有的子树的个数

(2)树的度:树中各结点度的最大值

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A的度为3,同时也是树的度,B的度为2

2.叶子节点和分支节点
(1)叶子节点
度为0的节点,也称为终端结点

(2)分支节点
度不为0的节点,也称为非终端结点

在上图中,K,L,M,F,G,I,J均为叶子节点

3.双亲与孩子
(1)祖先结点:对于任何节点n ,它的祖先是位于根到节点n之间的路径上的节点

(2)子孙结点:一个结点含有的子树的根结点的子节点

在树中,如果有一条路径从节点x到节点y,则称x为y的祖先,y为x的子孙

(3)双亲结点(父节点):若一个结点含有子结点,则这个结点称为其子结点的父节点

(4)孩子结点:一个结点含有的子树的根结点称为该结点的子结点

(5)兄弟结点:具有相同父结点的结点互称为兄弟结点

(6)堂兄弟结点:如果树的两个节点深度相同,但父节点不同,则它们是一对堂兄弟节点
B,C,D互为兄弟节点,E,G,I互为堂兄弟节点,B为E,F的父节点,而E,F为B的子节点

(4)树的深度
节点所在层数:根节点的层数为1,对于其他任何节点,若某节点在第K层,则其孩子节点在K+1层

树的深度:树中所有节点的最大层数,也称为高度
在上图中,树的深度为4

(5)树的类型
有序树:树中结点的各子树从左至右是有次序的,不能互换
无序树:树中结点的各子树从左至右是无次序的,可以互换

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注:在数据结构中,一般的讨论的一般是有序树

(6)森林
森林是m(m≥0)棵互不相交的树的集合,m可为0,空森林

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树的逻辑结构

树的遍历:从根节点出发,按照某种次序访问树中所有的节点,使得每个节点被访问一次且仅被访问一次

访问:抽象操作,可以是对节点进行的各种处理,这里简化为输出节点的数据

遍历的实质:树的结构(非线性结构) C > 线性结构

树通常有前序(根)遍历,后序(根)遍历,层序(次)遍历三种

前序遍历

树的前序遍历操作定义为:若树为空,则空操作返回;否则:
(1)先访问根节点
(2)然后按照从左到右的顺序前序遍历根节点的每一颗子树

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如图前序遍历序列:AC>BC>DC>EC>HC>IC>FC>CC>G

后序遍历

树的后序遍历操作定义为:若树为空,则空操作返回;否则:
(1)先按照从左到右的顺序后序遍历根节点的每一颗子树
(2)最后访问根节点

如图后序遍历序列:DC>HC>IC>EC>FC>BC>GC>CCA

层序遍历

树的层序遍历操作定义为:从树的第一层(即根节点)开始,自上而下的逐层遍历,在同一层中,按照从左到右的顺序对节点逐个访问

如图层序遍历序列:AC>BC>CC>DC>EC>FC>GC>HC>I

 

树的存储结构

实现树的存储结构,关键在于表示树中的节点之间的关系

双亲表示法

基本思想:用一维数组来存储树的各个节点(一般按层序存储),数组中的一个元素对应树中的一个节点,包括节点的数据信息和节点的双亲在数组中的下标。

节点结构

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struct PNode
{
	DataType data; //数据域
	int parent;   //指针域,双亲在数组中的下标
}

树的双亲表示法实质上是一个静态链表
如图所示:

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还可以将孩子节点或者兄弟节点的下标也进行存储

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孩子链表表示法

将结点的所有孩子放在一起,构成线性表

基本思想:把每个结点的孩子排列起来,看成是一个线性表,且以单链表存储,则n个结点共有n个孩子链表。这n个单链表共有n个头指针,这n个头指针又组成了一个线性表,为了便于进行查找采用顺序存储。最后, 将存放n个头指针的数组和存放n个结点的数组结合起来,构成孩子链表的表头数组

链表中的每个节点包含一个数据域和多个指针域,每个指针域指向该节点的一个孩子节点

方案一:
指针域的个数等于树的深度

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缺点:浪费存储空间

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方案二:
指针域的个数等于该结点的度

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缺点:每个结点结构不一致

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孩子节点

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struct CTNode
{
	int child;
	CTNode *next; // 指向下一个孩子结点的指针
}

表头结点

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struct CBNode
{
	DataType data;
	CTNode *firstChild; // 每个链表的头指针
}

存储结构

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双亲孩子表示法

在孩子链表中表头数组添加了节点的双亲结点

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孩子兄弟表示法

某节点的第一个孩子是唯一的,某一节点的右兄弟是唯一的,设置两个分别指向该节点的第一个孩子和右兄弟的指针

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struct TNode
{
	DataType data;
	TNode *firstChild,*rightSib;
}

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总结

提示:这里对文章进行总结:

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