Linear Algebra lecture 2 note

时间:2020-12-24 22:43:15

Lecture2

Elimination

Inverses

Permutation


消元法介绍(elimination):

有方程组

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提取系数,形成矩阵为:

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消元的思想跟解方程组中先消除未知数的思路一致,通过数乘(multiply)和减法(substract)化简,化简过程为:

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以上红框起来的数字叫pivot(主元),此例中主元分别为1、2、5

第一步操作是为了将第二行第一列的值变为0,简记为(2,1),即row2-3*row1,

由于第三行第一列的值已为0,下一步操作是为了将第三行第二列的值变为0,简记为(3,2),即row3-2*row2,

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我们由A矩阵得到了U矩阵(U代表upper triangle,上三角矩阵)

教授提到一句:由此U矩阵可知行列式(determinant)为1*2*5=10(具体概念后面再讲)

若想求得正确的解,那么方程组右边的值也需要进行相同的变换,在原A矩阵右侧加一列,称为增广矩阵,进行相同变化的过程为:

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下面我们进行回代,写回方程组的形式来看看:

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我们可以很容易解出,z=-2,y=1,x=2


对于矩阵右乘向量,结果以列的形式组合,matrix * colunm=columns combination

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对于矩阵左乘向量,结果以行的形式组合,row * matrix = rows  combination

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思考:如何通过乘以一个矩阵得到化简形式,将所乘矩阵称为初等矩阵,由于需要消除的是第二行第一列的值,记此初等矩阵E21,

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求E21,视为combination of rows,第一行、第三行不变,第二行是取第一行的负三倍与原来的第二行加和而成,故可得:

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下一步,消除第三行第二列的值,记此初等矩阵E32,

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求E32,视为combination of rows,第一行、第二行不变,第三行是取此时第二行的负二倍与原第三行加和而成,故可得:

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E32(E21A)=U

(E32E21)A=U

EA=U


Inverses(逆)

矩阵乘以初等矩阵相当于做了消元变换,将变换后的矩阵再恢复回去,视为逆作用,就需要乘以逆矩阵,可得单位矩阵,单位矩阵(Identity)记作I,乘以单位矩阵就相当于没有作用

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Permutation(置换)

Exchange rows

思考:如何通过乘以一个矩阵达到行交换的效果?

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附加思考:如何通过乘以一个矩阵达到列交换的效果?

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