本文题目适合初一以上数学爱好者解答。
暑期课程主要涉及到的内容包括：有理数计算、一次方程与方程组、一次不等式与不等式组、绝对值方程与不等式、整式的运算、因式分解等。
1、解关于 $x$ 的方程: $${x\over a} + {x\over b-a} = {a\over a+b},\ (a\ne0, a^2\ne b^2).$$ 解答:
整理后分类讨论即可. $$b(a+b)x = a^2(b-a)\Rightarrow \begin{cases}x = \dfrac{a^2(b-a)}{b(a+b)},\ (b \ne 0)\\ x\in\phi.\ (b = 0) \end{cases}$$
2、已知关于 $x$ 的方程 $${a-x\over2} = {bx-3\over3}$$ 的解为 $x=2$, 求代数式 $\displaystyle{b\over a} + {a\over b}$ 的值.
解答: $$\frac{a - 2}{2} = \frac{2b - 3}{3} \Rightarrow 3a - 6 = 4b - 6 \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{4}{3}.$$ $$\Rightarrow \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{3}{4} + \frac{4}{3} = \frac{25}{12}.$$
3、若方程组 $\begin{cases}mx + y + z = m+1\\ x + my + z = m+2\\ x + y + mz = m + 3 \end{cases}$ 无解, 则 $m$ 的值是多少?
解答:
三式相加得 $$(m+2)(x + y + z) = 3(m+2) \Rightarrow x + y + z = 3.$$ $$\Rightarrow \begin{cases}(m-1)x = m-2\\ (m-1)y = m - 1\\ (m-1)z = m \end{cases}\Rightarrow m = 1.$$
4、求方程 $(2x - y)(x - 2y) = 5$ 的整数解.
解答: $$\begin{cases}2x - y = 5,\ -5,\ 1,\ -1\\ x - 2y = 1,\ -1,\ 5,\ -5 \end{cases}$$ $$\Rightarrow (x,\ y) = (3,\ 1),\ (-3,\ -1),\ (-1,\ -3),\ (1,\ 3).$$
5、求方程 $m^2 - n^2 = 60$ 的正整数解.
解答: $$(m + n)(m - n) = 2^2 \times 3 \times 5$$ $$\Rightarrow \begin{cases}m + n = 30,\ 10\\ m - n = 2,\ 6 \end{cases}$$ $$\Rightarrow (m,\ n) = (16,\ 14),\ (8,\ 2).$$
6、一个正整数, 减去 $4$ 后是一个完全平方数, 加上 $9$ 后也是一个完全平方数, 求这个正整数.
解答: $$\begin{cases}x - 4 = m^2\\ x + 9 = n^2 \end{cases} \Rightarrow (n + m)(n - m) = 13$$ $$\Rightarrow \begin{cases}n+m = 13\\ n - m = 1 \end{cases} \Rightarrow (m,\ n) = (6,\ 7).$$ $$\Rightarrow x = 40.$$
7、已知 $xyz \ne 0$, 且 $2x - y + z = 0$, $x - 2y + 3z = 0$, 求代数式 $\displaystyle{x^2 + 3y^2 + 5z^2 \over 2x^2 + 4y^2 + 7z^2}$ 的值.
解答: $$\begin{cases}2x - y + z = 0\\ x - 2y + 3z = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}2x - y = -z\\ x - 2y = -3z \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}x = \dfrac{1}{3}z\\ y = \dfrac{5}{3}z\\ z = z \end{cases}$$ $$\Rightarrow \frac{x^2 + 3y^2 + 5z^2}{2x^2 + 4y^2 + 7z^2} = \frac{121}{165} = \frac{11}{15}.$$
8、解不等式: $ \displaystyle{2x - 1 \over 3} - 1 \ge {3x + 2\over 6} + {x\over 2}.$
解答: $$2(2x - 1) - 6 \ge 3x + 2 + 3x$$ $$\Rightarrow 2x \le -10$$ $$\Rightarrow x \le -5.$$
9、解不等式: $ \displaystyle{5x + 8 \over 3x - 4} \ge 1.$
解答: $$\frac{5x + 8 - 3x + 4}{3x - 4} \ge 0$$ $$\Rightarrow \frac{2x + 12}{3x - 4} \ge 0$$ $$\Rightarrow (2x + 12)(3x - 4) \ge 0$$ $$\Rightarrow x \le -6,\ x > \frac{4}{3}.$$
10、关于 $x$ 的不等式 $\displaystyle{4x + a \over 3} > 1$ 的解都是不等式 $-\displaystyle{2x + 1\over 3} < 0$ 的解, $a$ 的取值范围是什么?
解答: $$4x = a > 3 \Rightarrow x > \frac{3-a}{4}.$$ 另一方面, $$-\frac{2x + 1}{3} < 0 \Rightarrow 2x + 1 > 0 \Rightarrow x > -\frac{1}{2}.$$ 由此可知 $$\frac{3 - a}{4} \ge -\frac{1}{2} \Rightarrow 3 - a \ge -2\Rightarrow a \le 5.$$
11、不等式组 $\begin{cases}a-1 < x < a+2\\ 3 < x < 5 \end{cases}$ 的解集是 $3 < x < a+2$, $a$ 的取值范围是什么?
解答: $$\begin{cases}a- 1 < x < a + 2\\ 3 < x < 5 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases}a- 1 \le 3\\ a + 2 \le 5\\ a + 2 > 3\end{cases}$$ $$\Rightarrow 1 < a \le 3.$$
12、解不等式组: $$\begin{cases}3x + 5 > 4x - 3\\ \displaystyle{2x - 4\over 3} < 1\\ \displaystyle{1-x\over2} < 4(2x - 3) < {11x\over2}\\ 2x - 3 > \displaystyle{1\over2}(x-7) \end{cases}$$ 解答:
原不等式组 $$\Rightarrow \begin{cases}x < 8\\ 2x - 4 < 3\\ 1 - x < 8(2x - 3)\\ 8(2x - 3) < 11x\\ 4x - 6 > x - 7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}x < 8\\ x < \dfrac{7}{2}\\ x > \dfrac{25}{17}\\ x < \dfrac{24}{5}\\ x > -\dfrac{1}{3} \end{cases}$$ $$\Rightarrow \frac{25}{17} < x < \frac{7}{2}.$$
13、解关于 $x$ 的不等式组 $$\begin{cases}x - 2 > 3(x-a)\\ \displaystyle{ax - 1\over2} > 2x - 3 \end{cases}$$ 解答:
原不等式组 $$\Rightarrow \begin{cases}2x < 3a - 2\\ (a - 4)x > -5 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}x < \dfrac{1}{2}(3a - 2)\\ (a - 4)x > -5 \end{cases}$$ 对第二个不等式进行分类讨论:
(1) $a = 4$ 时, $$\begin{cases}x < 5\\ 0 > -5 \end{cases} \Rightarrow x < 5.$$ (2) $a > 4$ 时, $$\begin{cases}x < \dfrac{1}{2}(3a - 2)\\ x > \dfrac{-5}{a - 4} \end{cases} \Rightarrow -\frac{5}{a - 4} < x < \frac{1}{2}(3a - 2).$$ (3) $a < 4$ 时, $$\begin{cases}x < \dfrac{1}{2}(3a - 2)\\ x < \dfrac{-5}{a - 4} \end{cases} \Rightarrow x < \frac{1}{2}(3a - 2).$$ 最后一步成立原因是 $$\frac{1}{2}(3a - 2) - \frac{-5}{a - 4} = \frac{(3a - 2)(a - 4) + 10}{2(a - 4)} = \frac{3\left(a - \frac{7}{3}\right)^2 + \frac{5}{3}}{2(a - 4)} < 0.$$ 综上 $$\begin{cases}x < 5,\ (a = 4)\\ -\dfrac{5}{a - 4} < x < \dfrac{1}{2}(3a - 2),\ (a > 4)\\ x < \dfrac{1}{2}(3a - 2),\ (a < 4)\end{cases}$$
14、若 $a, b, c$ 为整数, 且 $|a-b|^{19} + |c-a|^{19} = 1$, 计算 $|c-a| + |a-b| + |b-c|$ 的值是多少?
解答:
由已知易得 $$\begin{cases}|a - b|^{19} = 0,\ 1\\ |c - a|^{19} = 1,\ 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}|a - b| = 0,\ 1\\ |c - a| = 1,\ 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}|a - b| = 0,\ 1\\ |c - a| = 1,\ 0\\ |c - b| = 1,\ 1 \end{cases}$$ 因此原式的值为 $2$.
15、已知 $|x| \le 1$, $|y| \le 1$, $|x + y| + |y + 1| + |2y - x - 4|$ 的最大值与最小值之和是多少?
解答:
可以参考第7章例题10.
最大值为 $7$, 最小值为 $3$, 其和为 $10$.
16、设实数 $a, b, c$ 满足 $a+b+c=0$, $abc > 0$, 若 $$x = {a\over|a|} + {b\over|b|} + {c\over|c|},$$ $$y = a\left({1\over b} + {1\over c}\right) + b\left({1\over c} + {1\over a}\right) + c\left({1\over a} + {1\over b}\right),$$ 则$x+2y + 3xy =$?
解答:
易知 $a,\ b,\ c$ 一正二负, $$\Rightarrow x = -1,\ y = \left(\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right)\left(a + b + c\right) - 3 = -3.$$ $$\Rightarrow x + 2y + 3xy = -1 - 6 + 9 = 2.$$
17、已知 $x^2 + 3x + 2$ 能整除 $x^4 + ax^2 - bx + 2$, 则 $ab + a + b$ 的值是多少?
解答:
令 $f(x) = x^4 + ax^2 - bx + 2$, $$x^2 + 3x + 2 = (x + 1)(x + 2).$$ $$\Rightarrow \begin{cases}f(-1) = 0\\ f(-2) = 0 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}1 + a + b + 2 = 0\\ 16 + 4a + 2b + 2 = 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases} a = -6\\ b = 3\end{cases} \Rightarrow ab + a + b = -21.$$
18、当 $50 - (2a + 3b)^2$ 达到最大值时, $1 + 4a^2 - 9b^2 $ 的值是多少?
解答:
$50 - (2a + 3b)^2 \le 50$, 当 $2a + 3b = 0$ 时取等号. $$1 + 4a^2 - 9b^2 = 1 + (2a + 3b)(2a - 3b) = 1.$$
19、因式分解: $\left(1+x+x^2+x^3\right)^2 - x^3$.
解答: $$\left(1 + x + x^2 + x^3\right)^2 - x^3 = \left(1 + x + x^2\right)^2 + 2x^3(1 + x + x^2) + x^6 - x^3$$ $$= \left(x^2 + x + 1\right)^2 + 2x^3(x^2 + x + 1) + x^3(x - 1)(x^2 + x + 1)$$ $$= \left(x^2 + x + 1\right)\left(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1\right).$$
20、两个正整数的和比这两数的积小 $1000$, 且其中一个正整数是完全平方数, 求其中较大的一个正整数.
解答:
由题意有 $$m^2 + n + 1000 = m^2n$$ $$\Rightarrow m^2n - m^2 - n + 1 = 1001$$ $$\Rightarrow (m^2 - 1)(n - 1) = 1001 = 7\times11\times13.$$ $$\Rightarrow m^2 - 1 = 1001,\ 1,\ 7,\ 143,\ 91,\ 11,\ 13,\ 77.$$ 只有 $m^2 = 144$ 是完全平方数. $$\Rightarrow m = 12,\ n = 8.$$ 即较大数是 $144$.
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，原北京四中数学竞赛教练员，目前担任猿辅导数学竞赛教学产品中心副总监。
主要研究方向包括：数学建模（机器学习算法）与数学奥林匹克教育（解题研究与教学法），以第一作者身份发表英文论文5篇。
在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
作者微信：zhaoyin0506