本题为猿辅导2017年秋季初中数学竞赛基础班作业题，适合初一以上数学爱好者作答。
问题1：
确定 $m$ 的值, 使 $x^2 + 2xy - 8y^2 + 2x + 14y +m$ 能分解为两个一次式的积.
解答：
由于 $x^2 + 2xy - 8y^2 = (x + 4y)(x - 2y)$, 因此令原式 $= (x + 4y + a)(x - 2y + b)$. 展开后对比系数可得 $$\begin{cases}a + b = 2\\ 4b - 2a = 14\\ ab = m \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = -1\\ b = 3\\ m = -3 \end{cases}$$ 因此 $m$ 的值为 $-3$.
问题2：
确定 $k$ 的值, 使下列各式分解成关于 $x, y$ 的两个一次式的积.
a. $x^2 - y^2 + kx + 5y - 6$
b. $x^2 + 7xy + ky^2 - 5x + 43y - 24$
解答：
两道题目均可参照例题采用待定系数法或双十字相乘求解，答案分别为
a. $k = -1$ 或 $k = 1$.
b. $k = -18$.
问题3：
若 $13x^3 + mx^2 + 11x + n$ 能被 $13x^2 - 6x + 5$ 整除, 求整数 $m, n$ 的值.
解答：
易知商式必为一次式，因此令 $13x^3 + mx^2 + 11x + n = \left(13x^2 - 6x + 5\right)(x + a)$.
展开后对比系数可得 $$\begin{cases}13a - 6 = m\\ 5 - 6a = 11\\ 5a = n \end{cases} \Rightarrow \begin{cases}a = -1\\ m = -19\\ n = -5 \end{cases}$$ 所以 $m = -19$, $n = -5$.
作者简介：
赵胤，海归双硕士（数学建模 & 数学教育），中国数学奥林匹克一级教练员，曾执教于首师大附属实验学校及北京四中，目前担任猿辅导小学奥数及初高中数学竞赛课程主讲教师。在10余年的教学生涯中，培养了300余名国内外数学竞赛获奖选手，包括华杯赛、小奥赛、全国初高中数学联赛一等奖，全美数学竞赛（AMC）、美国数学邀请赛（AIME）满分等。
作者微信：zhaoyin0506