1、已知三个二次方程 $x^2 + 2x + a = 0$, $2x^2 + ax + 1 = 0$, $ax^2 + x + 2 = 0$ 有公共根, 试求实数 $a$ 的值.
解答：
设公共根为 $\alpha$，则 $$\begin{cases}\alpha^2 + 2\alpha + a = 0\\ 2\alpha^2 + a\alpha + 1 = 0\\ a\alpha^2 + \alpha + 2 = 0\end{cases}$$ $$\Rightarrow (a+3)\alpha^2 + (a+3)\alpha + a+3 = 0$$ $$\Rightarrow (a+3)(\alpha^2 + \alpha + 1) = 0$$ $$\Rightarrow a = -3.$$
2、已知三个二次方程 $x^2 + 4ax - (4a - 3) = 0$, $x^2 + (a-1)x + a^2 = 0$, $x^2 + 2ax - 2a = 0$ 中, 至少有一个方程有实数根, 求实数 $a$ 的取值范围.
解答：
若三个方程均无实根，即$$\begin{cases}16a^2 + 4(4a - 3) < 0\\ (a-1)^2 - 4a^2 < 0\\ 4a^2 + 8a < 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}4a^2 + 4a - 3 < 0\\ 3a^2 + 2a - 1 > 0\\ a^2 + 2a < 0\end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}(2a - 1)(2a + 3) < 0\\ (3a - 1)(a+1) > 0\\ a(a+2) < 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}-\dfrac{3}{2} < a < \dfrac{1}{2}\\ a < -1,\ a > \dfrac{1}{3}\\ -2 < a < 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow -\frac{3}{2} < a < -1.$$ 因此，若三个方程至少有一个有实根，则 $$a\in(-\infty, -\frac{3}{2}] \cup [-1, +\infty).$$
3、求方程 $5x^2 + 6xy + 2y^2 - 14x - 8y + 10 = 0$ 的实数解.
解答：
以 $x$ 为主元，即 $$5x^2 + (6y - 14)x + 2y^2 - 8y + 10 = 0$$ $$\Rightarrow \Delta = (6y-14)^2 - 20(2y^2 - 8y + 10) \ge 0$$ $$\Rightarrow y^2 + 2y + 1 \le 0$$ $$\Rightarrow y = -1.$$ $$\Rightarrow 5x^2 - 20x + 20 = 0 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0$$ $$\Rightarrow x = 2.$$ 综上，$\begin{cases} x = 2\\ y = -1\end{cases}$.
4、设二次方程 $ax^2 + 2bx + 1= 0$, $cx^2 +2dx + 1= 0$ ($a\ne 0, c\ne 0$) 中 $a + c = 2bd$, 求证: 两个方程中至少有一个方程有实根.
解答：
反证法。假设两个方程均无实根，则 $\Delta_1 < 0$, $\Delta_2 < 0$, $$\Rightarrow \Delta_1 + \Delta_2 < 0$$ $$\Rightarrow 4b^2 - 4a + 4d^2 -4c < 0$$ $$\Rightarrow b^2 + d^2 - 2bd < 0$$ 矛盾。因此至少有一个方程有实根。
5、设 $m^2 = m+1$, $n^2 = n+1$, 且 $m\ne n$, 试求 $m^7 + n^7$ 的值.
解答：
易知 $m$、$n$ 是一元二次方程 $x^2 - x - 1 = 0$ 的两根。由韦达定理可得基本对称式 $$\begin{cases}m+n = 1\\ mn = -1 \end{cases}$$ $$\Rightarrow m^2 + n^2 = 3,\ m^3 + n^3 = 4,\ m^4 + n^4 = 7$$ $$\Rightarrow m^7 + n^7 = 29.$$
主讲教师:
赵胤, 理学硕士(数学) & 教育硕士(数学), 中国数学奥林匹克一级教练员, 高级中学数学教师资格.