1. 化简下列小数为分数: $\displaystyle{1\over 1.1\overline{25}}$.
解答: $$x = 1.1\overline{25} \Rightarrow 10x = 11.\overline{25},\ 1000x = 1125.\overline{25}$$ $$\Rightarrow 990x = 1114 \Rightarrow x = \frac{1114}{990} = \frac{557}{495}$$ $$\Rightarrow \frac{1}{1.1\overline{25}} = \frac{495}{557}.$$
2. 求证: 实数 $\sqrt[3]{3}$ 是无理数.
解答: $$\sqrt[3]{3} = \frac{q}{p},\ (p, q) = 1$$ $$\Rightarrow 3p^3 = q^3 \Rightarrow 3\ |\ q \Rightarrow q = 3k,\ (k\in\mathbf{N^*})$$ $$\Rightarrow p^3 = 9k^3 \Rightarrow 3\ |\ p \Rightarrow (p, q) \ne 1.$$ 矛盾!
3. 求证: 任意五个连续正整数的平方和的算术根是无理数.
解答: $$S = (n-2)^2 + (n-1)^2 + n^2 + (n+1)^2 + (n+2)^2 = 5n^2 + 10 = 5(n^2 + 2).$$ $$\because n^2 \equiv 0, 1, 4 \pmod{5},\ \therefore n^2 + 2 \equiv 1, 2, 3 \pmod{5}$$ $$\Rightarrow 5\ |\ S,\ 25 \not|\ S.$$ 即 $S$ 不是完全平方数. 因此其算术根是无理数.
4. 若 $\displaystyle{a+b \over a-b}$ 是不等于 $1$ 的有理数, 求证: $\displaystyle{a\over b}$ 为有理数.
解答: $$\frac{a+b}{a-b} = \frac{q}{p} \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{q+p}{q-p} \in \mathbf{Q}.$$
5. 设 $a, b, m, n$ 是有理数, $\sqrt{m}, \sqrt{n}$ 是无理数, 且 $a + \sqrt{m} = b + \sqrt{n}$, 求证: $a = b$, $m = n$.
解答: $$a + \sqrt{m} = b + \sqrt{n} \Rightarrow (a + \sqrt{m} - b)^2 = n$$ $$\Rightarrow (a - b)^2 + 2(a-b)\sqrt{m} + m = n$$ $$\Rightarrow (a - b)^2 + m - n = 2(a-b)\sqrt{m}$$ $$\Rightarrow \begin{cases}(a-b)^2 + m-n = 0\\ 2(a - b) = 0 \end{cases}$$ $$\Rightarrow a = b,\ m = n.$$
6. 设 $a_n$ 是 $1^2 + 2^2 + 3^2 + \cdots + n^2$ 的个位数字, $n = 1, 2, 3, \cdots$, 求证: $0.a_1a_2a_3\cdots a_n\cdots$ 是有理数.
解答:
首先计算 $a_n$: $$1, 5, 4, 0, 5, 1, 0, 4, 5, 5, 6, 0, 9, 5, 0, 6, 5, 9, 0, 0,$$ $$1, 5, 4, \cdots$$ 即发现 $a_n$ $20$ 位一循环. 下面证明这一点, 即证 $$f(n+20) \equiv f(n) \pmod{10}.$$ 令 $f(n) = \displaystyle\sum_{i = 1}^{n}i^2$, 则 $$f(n+20) - f(n) = (n+1)^2 + (n+2)^2 + \cdots + (n+20)^2$$ $$= 20n^2 + 420n + 2870$$ $$\Rightarrow 10\ |\ f(n+20) - f(n).$$ 因此 $0.a_1a_2a_3\cdots a_n\cdots$ 是无限循环小数, 其循环节为 $20$ 位.
7. 设 $a, b$ 是实数, 对所有正整数 $n$ ($n\ge2$), $a^n + b^n$ 都是有理数, 证明: $a + b$ 是有理数.
解答:
由已知可得 $$a^2 + b^2,\ a^3 + b^3,\ a^4 + b^4,\ a^5 + b^5,\ \cdots $$ 均为有理数. 因此 $$(a^2 + b^2)^2 = a^4 + b^4 + 2a^2b^2 \in\mathbf{Q}$$ $$\Rightarrow a^2b^2 \in \mathbf{Q}.$$ $$\because (a^2 + b^2)(a^3 + b^3) = a^5 + b^5 + a^2b^2(a+b) \in\mathbf{Q},$$ $$\therefore a^2b^2(a+b) \in\mathbf{Q}.$$ 若 $a = b = 0$, 则得证.
若二者中有一个为零, 不妨设 $a = 0$, 则 $$b^2\in\mathbf{Q},\ b^3\in\mathbf{Q}\Rightarrow b \in\mathbf{Q}$$ $$\Rightarrow a + b = b \in\mathbf{Q}.$$ 若 $a, b$ 均不为零, 则由 $a^2b^2 \in\mathbf{Q}$ 及 $a^2b^2(a+b) \in\mathbf{Q}$, 可得 $a + b \in\mathbf{Q}$.
综上, $a+b \in\mathbf{Q}$.
主讲教师:
赵胤, 理学硕士(数学) & 教育硕士(数学), 中国数学奥林匹克一级教练员, 高级中学数学教师资格.