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题目传送门 - BZOJ1951
题意概括
求 GM mod 999911659
M=∑i|nC(n,i)
N,G<=109
题解
我们发现999911659是一个素数,设为p。
费马小定理:对于任意正整数a,和素数p,有
ap-1 Ξ 1 (mod p)
由此可得, GM Ξ GM mod (p-1) (mod p)
这个可以用快速幂搞定,现在的问题就是如何计算M
我们研究p-1这个数。
我们把他分解质因数:
p-1 = 999911658 = 2 × 3 × 4679 × 35617
我们发现他们都很小。而且没有质数的多次方之类的(不然貌似要用到ex_lucas)
我们于是分组解决这个问题。
对于模数为2、3、4679、35617我们分别求解。
设当前的模数为p,那么,我们只需要枚举i(i|n),可以在的复杂度里面得到所有的i,那么现在我们考虑计算C(n,i)。
显然,这个可以套Lucas定理:(设p为当前的素模数)
C(n,m) Ξ C(n mod p,m mod p) × C(n div p,m div p) (mod p)
于是我们可以将n和m的规模在log的复杂度内搞到p以下。然后直接套C函数的公式就可以了(提前预处理出阶乘)。
那么,我们得到了4个答案。
然后我们考虑结合4个答案。
记我们的答案分别为a[0]、a[1]、a[2]、a[3];而之前的四个数为p[0]~p[4]。
我们发现,我们得到的4个答案可以写出等式:
a[i] Ξ M (mod p[i]) (0<=i<4)
这个很明显就是中国剩余定理(CRT)可以搞定的。
而且p[i]都是质数,两两互质,那么就更好办了。
注意,开始的时候要把G=999911659的情况判掉,不然会出错。
代码
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long LL;
LL mod=999911659;
LL num[4]={2,3,4679,35617};
LL N,G,M,a[4];
LL Pow(LL x,LL y,LL mod){
if (!y)
return 1LL;
LL xx=Pow(x,y/2,mod);
xx=xx*xx%mod;
if (y&1LL)
xx=xx*x%mod;
return xx;
}
LL Inv(LL x,LL mod){
return Pow(x,mod-2,mod);
}
LL fac[4][36000],inv[4][36000];
void Get_fac(){
for (LL x=0;x<4;x++){
fac[x][0]=1;
for (LL i=1;i<num[x];i++)
fac[x][i]=fac[x][i-1]*i%num[x];
}
for (LL x=0;x<4;x++)
for (LL i=0;i<num[x];i++)
inv[x][i]=Inv(fac[x][i],num[x]);
}
LL _C(int i,LL N,LL M){
if (N<M)
return 0;
return fac[i][N]*inv[i][M]%num[i]*inv[i][N-M]%num[i];
}
LL C(int i,LL N,LL M){
if (M==0)
return 1LL;
return _C(i,N%num[i],M%num[i])*C(i,N/num[i],M/num[i])%num[i];
}
void ex_gcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){
if (b==0){
x=1,y=0;
return;
}
ex_gcd(b,a%b,y,x);
y-=(a/b)*x;
}
LL CRT(){
LL x,y,A=num[0],B=a[0];
for (int i=1;i<4;i++){
LL A1=num[i],B1=a[i];
ex_gcd(A,A1,x,y);
x=((B1-B)*x%A1+A1)%A1;
B+=A*x;
A*=A1;
}
return B;
}
int main(){
scanf("%lld%lld",&N,&G);
if (G==mod){
puts("0");
return 0;
}
Get_fac();
for (LL x=0;x<4;x++)
for (LL i=1;i<=(LL)sqrt(N);i++)
if (N%i==0){
int A=i,B=N/i;
if (A!=B)
a[x]=(a[x]+C(x,N,A)+C(x,N,B))%num[x];
else
a[x]=(a[x]+C(x,N,i))%num[x];
}
LL res=CRT();
printf("%lld",Pow(G,res,mod));
return 0;
}