拉普拉斯变换

定义

• 一个信号的拉普拉斯变换定义如下
  
  X(s)=∫+∞−∞x(t)e−stdt $$X(s)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)e^{-st}dt$$
  
  当 s=jw $s=jw$时,就是 x(t) $x(t)$的傅里叶变换,即
  
  X(jw)=∫+∞−∞x(t)e−jwtdt $$X(jw)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}x(t)e^{-jwt}dt$$
• 左边信号:若在某有限时间 T1 $T_1$以后, x(t)=0 $x(t)=0$,则称该信号为左边信号
  右边信号:若在某有限时间 T1 $T_1$之前, x(t)=0 $x(t)=0$,则称该信号为右边信号
  双边信号:对 t>0 $t>0$和 t<0 $t<0$都具有无限范围的信号

拉普拉斯变换收敛域

• X(s) $X(s)$的收敛域在 s $s$平面内由平行于 jw $jw$的带状区域所组成.
• 对有理拉普拉斯变换来说,收敛域内不包括任何极点
• 如果 x(t) $x(t)$是有限持续期,并且是绝对可积的,那么收敛域就是整个 s $s$平面
• 如果 x(t) $x(t)$是右边信号,并且 Res=σ0 $Res={\sigma }_0$这条线位于收敛域内,那么 Res>σ0 $Res>{\sigma }_0$的全部 s $s$值一定都在收敛域内.
• 如果 x(t) $x(t)$是左边信号,并且 Res=σ0 $Res={\sigma }_0$这条线位于收敛域内,那么 Res<σ0 $Res<{\sigma }_0$的全部 s $s$值一定都在收敛域内.
• 如果 x(t) $x(t)$是双边信号,并且 Res=σ0 $Res={\sigma }_0$这条线位于收敛域内,那么收敛域就一定由 s $s$平面的一条带状区域组成,直线 Res=σ0 $Res={\sigma }_0$位于带中.
• 如果 x(t) $x(t)$的拉普拉斯变换 X(s) $X(s)$是有理的,那么它的收敛域是被极点所界定的或延伸到无限远.另外,在收敛域内不包含 X(s) $X(s)$的任何极点
• 如果 x(t) $x(t)$的拉普拉斯变换 X(s) $X(s)$是有理的,那么若 x(t) $x(t)$是右边信号,则其收敛域在 s $s$平面上位于最右边极点的右边;若 x(t) $x(t)$是左边信号,则其收敛域在 s $s$平面上位于最左边极点的左边