求教微软面试题目

A与B各有一个硬币，并且同时出示自己的硬币。如果出示的两个硬币为正正（两个正面），则B给A 3元；如果出现负负，则B给 1元；如果出现正负，则A给B 2元。
请问这个游戏是公平的吗？

面试官希望有一定的数学推导过程。求专家指教。

36 个解决方案

#1

这题。。。。。。
研究性质的工作么？

#2

1/2 * 1/2 = 1/4  
1/2 * 1/2 * 2 = 1/2
个人看法:
看来庄家还是倾向于正正
如果正正和负负是B给A2元
好像更公平

#3

A\B正  反
正 3 → -2
   ↑   ↓
反 -2← 1 
因此不存在确定性的平衡状态。如有概率性的平衡状态，设平衡状态下A选正面的概率为x，因模型是对称的所以A和B选正面的概率是相等的
如要成为平衡状态，则B在正反之间的选择所导致的期望结果是无差异的
3x-2(1-x)=-2x+(1-x)
解得x=3/8
所以平衡状态下A的每局期望所得就是3/8*3/8*3 + 2*3/8*3/5*(-2) + 5/8*5/8*1 = -1/8
A亏

#4

貌似公平啊。。。++ 25%， -- 25%  +- 50%

#5

出示硬币是随机呢还是玩家有权控制？

#6

总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，所以B给A的钱概率上有1/4*3+1/4*1=1,A给B的钱应该是（1/4+1/4）*2=1，所以是公平的，给分哦

#7

明显不公平啊，B给钱的几率只有25%，而A给钱的几率是75%，怎么可能公平

#8

公平。
两个硬币有四种组合，全正，全反，正反，反正。
如果是完全随机出的，它们各有25%的几率。它们谁也不亏。

#9

不公平
设A 选正概率Pa，B选正概率Pb
则A的收益：3×Pa*Pb-2Pa(1-Pb)-2(1-Pa)*Pb+(1-Pa)(1-Pb)=Pa(*Pb-3)-3Pb+1

当 1/3<Pb<2/5 A的收益为负

因此，B处于优势

#10

引用 6 楼 w346581442 的回复:

总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，所以B给A的钱概率上有1/4*3+1/4*1=1,A给B的钱应该是（1/4+1/4）*2=1，所以是公平的，给分哦

++

#11

同意6楼的，这是一个概率方面的问题

#12

看起来挺容易，但应该要考虑很多，具体怎么做，还真不好下结论

#13

算一下期望值

#14

引用 8 楼 ljljlj 的回复:

公平。
两个硬币有四种组合，全正，全反，正反，反正。
如果是完全随机出的，它们各有25%的几率。它们谁也不亏。

++

#15

引用 6 楼 w346581442 的回复:

总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，所以B给A的钱概率上有1/4*3+1/4*1=1,A给B的钱应该是（1/4+1/4）*2=1，所以是公平的，给分哦

如果考虑硬币是否均匀在算期望会比较好

#16

引用 10 楼 jernymy 的回复:

引用 6 楼 w346581442 的回复:
总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，所以B给A的钱概率上有1/4*3+1/4*1=1,A给B的钱应该是（1/4+1/4）*2=1，所以是公平的，给分哦

++

++

#17

在两枚硬币出现正反的概率都为0.5的情况下，A和B所得钱数的期望应该是相等的，都为0，但是再察他们的方差，A明显比B要大，对于A来说他有二分之一的概率是输两块钱，对于B来说他有四分之一的概率输1块，还有四分之一的概率是输3块，A与B的心理感觉是不一样的。所以不管怎么样，这样都是不公平的。除非A愿意冒险多赢三块，而B也必须安于赢两块。

#18

假设你们自己是玩游戏的人，难道你们都不分析游戏规则，就傻乎乎的一定要按同等概率出硬币？
这个假设必然是站不住脚的，双方都会尽量采用有利于自己的方式出硬币

#19

引用 6 楼 w346581442 的回复:

总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，所以B给A的钱概率上有1/4*3+1/4*1=1,A给B的钱应该是（1/4+1/4）*2=1，所以是公平的，给分哦

 
我也这样想的 但感觉微软不会出这么直白的问题 一定还有没考虑到的地方

#20

期望算出来倒是一样的，没算方差，算一下方差小得钱更稳定，没记错的话应该是这样。。

#21

这是一场博弈吗？关于公平的。无论对方怎么选你都可以最大程度的获益最大

#22

其实是A亏了，因为如果是正正,B要给A 3元，负负 B只要给A 1元，而正负  A要给B 2元，所以B出负的次数肯定比正的多。我们假设一个极限，就是B永远出负，而A又不能确定B出正还是负（A也确实不能确定），那么A出正负的概率各为1/2，按照6楼的方法取期望便可得证。另一个极限是B永远出正，当然*也不会这样做。中间点是谁都不动脑，比较随机地出，这种情况可以说是公平的。

#23

引用 9 楼 genio 的回复:

不公平
设A 选正概率Pa，B选正概率Pb
则A的收益：3×Pa*Pb-2Pa(1-Pb)-2(1-Pa)*Pb+(1-Pa)(1-Pb)=Pa(*Pb-3)-3Pb+1

当 1/3<Pb<2/5 A的收益为负

因此，B处于优势

计算都错误了，汗

#24

觉得LS的有点靠谱，得考虑人对游戏的影响。
如果不是人玩，而是机器投硬币，那么
++ +3 25%
-- +1 25%
+- -2 50%
最后总的来看4 * 25% == -2 * 50%
但是由于规则的存在，B出-的次数会多，极限情况下就是- 100%，这时A+50%-50%，总的来看A就“亏”了。

#25

引用 22 楼 yshf0325 的回复:

其实是A亏了，因为如果是正正,B要给A 3元，负负 B只要给A 1元，而正负 A要给B 2元，所以B出负的次数肯定比正的多。我们假设一个极限，就是B永远出负，而A又不能确定B出正还是负（A也确实不能确定），那么A出正负的概率各为1/2，按照6楼的方法取期望便可得证。另一个极限是B永远出正，当然*也不会这样做。中间点是谁都不动脑，比较随机地出，这种情况可以说是公平的。

+++

#26

引用 6 楼 w346581442 的回复:

总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，所以B给A的钱概率上有1/4*3+1/4*1=1,A给B的钱应该是（1/4+1/4）*2=1，所以是公平的，给分哦

+1

#27

他说出示硬币，就是可以控制的，还总共有四种情况正正，负正，正负，负负，概率都是四分之一，题都没看清楚就来了

#28

这个不确定

#29

博弈。。。

#30

引用 22 楼 yshf0325 的回复:

其实是A亏了，因为如果是正正,B要给A 3元，负负 B只要给A 1元，而正负 A要给B 2元，所以B出负的次数肯定比正的多。我们假设一个极限，就是B永远出负，而A又不能确定B出正还是负（A也确实不能确定），那么A出正负的概率各为1/2，按照6楼的方法取期望便可得证。另一个极限是B永远出正，当然*也不会这样做。中间点是谁都不动脑，比较随机地出，这种情况可以说是公平的。

++++

#31

纳什均衡啊，喜欢钱的百度是知道的，看下面链接里面的图书馆美女找你搭讪的分析
http://baike.baidu.com/view/28460.htm

#32

引用 23 楼 lc_windson 的回复:

引用 9 楼 genio 的回复:
不公平
设A 选正概率Pa，B选正概率Pb
则A的收益：3×Pa*Pb-2Pa(1-Pb)-2(1-Pa)*Pb+(1-Pa)(1-Pb)=Pa(*Pb-3)-3Pb+1

当 1/3<Pb<2/5 A的收益为负

因此，B处于优势


计算都错误了，汗

Pa（8*Pb-3)-3Pb+1 笔误而已，重要的是思路

#33

虽然我不懂那个数学推导，但我觉得，22楼可能是比较理想的答案，既考虑了双方的策略，又有数学推导过程。

#34

引用楼主 jackers679 的回复:

A与B各有一个硬币， 并且同时出示自己的硬币。如果出示的两个硬币为正正（两个正面），则B给A 3元；如果出现负负，则B给 1元；如果出现正负，则A给B 2元。
请问这个游戏是公平的吗？

面试官希望有一定的数学推导过程。求专家指教。

什么题目，一点都不严密，没有说清楚，出示的时候是AB可控制出示，还是随机出示

#35

引用 31 楼 dreamrising 的回复:

纳什均衡啊，喜欢钱的百度是知道的，看下面链接里面的图书馆美女找你搭讪的分析
http://baike.baidu.com/view/28460.htm

+1

#36

谢谢大家的回复，我也不知道结果是怎么样的，当时面试官说这个是不公平的游戏，具体答案我也不知道。呵呵