【BZOJ4259】残缺的字符串

Description

　　很久很久以前，在你刚刚学习字符串匹配的时候，有两个仅包含小写字母的字符串A和B，其中A串长度为m，B串长度为n。可当你现在再次碰到这两个串时，这两个串已经老化了，每个串都有不同程度的残缺。

　　你想对这两个串重新进行匹配，其中A为模板串，那么现在问题来了，请回答，对于B的每一个位置i，从这个位置开始连续m个字符形成的子串是否可能与A串完全匹配?

Input

　　第一行包含两个正整数m,n(1<=m<=n<=300000)，分别表示A串和B串的长度。

　　第二行为一个长度为m的字符串A。

　　第三行为一个长度为n的字符串B。

　　两个串均仅由小写字母和号组成，其中号表示相应位置已经残缺。

Output

　　第一行包含一个整数k，表示B串中可以完全匹配A串的位置个数。

　　若k>0，则第二行输出k个正整数，从小到大依次输出每个可以匹配的开头位置（下标从1开始）。

Sample Input

3 7

ab

aebrob

Sample Output

2

1 5

首先带通配符的字符串匹配好像不能\(kmp\)。

这是\(NTT/FFT\)的一个经典应用。

如果\(A[i]与B[j]\)不能匹配，那么\(j-i+1\)就不能作为匹配的开头位置。

所以我们设一个函数\(\displaystyle GG(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[j-i+1==x]\cdot [A[i]与B[j]不能匹配]\)。我们发现这个函数有点像一个卷积的形式。于是我们将第一个字符串翻转(因为是\(-i\))，然后关键在于怎么构造卷积来使得不同的字符对\(GG\)函数有贡献。

我们将通配符位置的值设为0，其他的设为其在字符表中的序号。然后

\[\begin{align}
\displaystyle GG(x)&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[j-i+1==x]\cdot (A[i]-B[j])^2A[i]B[j]\\
&=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[j-i+1==x]\cdot(A[i]^3B[j]-2A[i]^2B[j]^2+A[i]B[j]^3)
\end{align}
\]

然后我们做3次FFT就可以了。

代码：

#include<bits/stdc++.h>

#define ll long long

#define N 300005

#define Z complex<double>

#define pi acos(-1)

#define mod 998244353

using namespace std;

inline int Get() {int x=0,f=1;char ch=getchar();while(ch<'0'||ch>'9') {if(ch=='-') f=-1;ch=getchar();}while('0'<=ch&&ch<='9') {x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}return x*f;}

int n,m;

char s[N],t[N];

int x[N],y[N];

Z f[N<<2],g[N<<2];

int rev[N<<2];

void FFT(Z *a,int d,int flag) {

    int n=1<<d;

    for(int i=0;i<n;i++) rev[i]=(rev[i>>1]>>1)|((i&1)<<d-1);

    for(int i=0;i<n;i++) if(i<rev[i]) swap(a[i],a[rev[i]]);

    for(int s=1;s<=d;s++) {

        int len=1<<s,mid=len>>1;

        Z w(cos(2*pi*flag/len),sin(2*pi*flag/len));

        for(int i=0;i<n;i+=len) {

            Z t(1,0);

            for(int j=0;j<mid;j++,t*=w) {

                Z u=a[i+j],v=t*a[i+j+mid];

                a[i+j]=u+v;

                a[i+j+mid]=u-v;

            }

        }

    }

    if(flag==-1) for(int i=0;i<n;i++) a[i]/=n;

}

int Match[N<<2];

void solve(int d,int flag) {

    FFT(f,d,1),FFT(g,d,1);

    for(int i=0;i<(1<<d);i++) f[i]*=g[i];

    FFT(f,d,-1);

    for(int i=0;i<(1<<d);i++) Match[i]+=flag*(ll)(f[i].real()+0.5);

}

vector<int>ans;

ll cal2(ll a) {return a*a;}

ll cal3(ll a) {return a*a*a;}

int main() {

    n=Get(),m=Get();

    scanf("%s",s);

    scanf("%s",t);

    reverse(s,s+n);

    for(int i=0;i<n;i++) x[i]=s[i]=='*'?0:s[i]-'a'+1;

    for(int i=0;i<m;i++) y[i]=t[i]=='*'?0:t[i]-'a'+1;

    int d=ceil(log2(m+n));

    memset(f,0,sizeof(f));

    memset(g,0,sizeof(g));

    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=Z(cal3(x[i]),0);

    for(int i=0;i<m;i++) g[i]=Z(y[i],0);

    solve(d,1);

    memset(f,0,sizeof(f));

    memset(g,0,sizeof(g));

    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=Z(x[i],0);

    for(int i=0;i<m;i++) g[i]=Z(cal3(y[i]),0);

    solve(d,1);

    memset(f,0,sizeof(f));

    memset(g,0,sizeof(g));

    for(int i=0;i<n;i++) f[i]=Z(cal2(x[i]),0);

    for(int i=0;i<m;i++) g[i]=Z(cal2(y[i]),0);

    solve(d,-2);

    for(int i=0;i<m+n;i++) if(Match[i]==0&&1<=i-n+2&&i-n+2<=m-n+1) ans.push_back(i-n+2);

    cout<<ans.size()<<"\n";

	for(int i=0;i<ans.size();i++) cout<<ans[i]<<" ";

    return 0;

}

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